Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên tia của tia MA lấy điểm D sao cho 2MD=MA. Gọi E là trung điểm của AC. Tính các góc của tam giác BDE
Giải
Ta có t/c đường trung tuyến của tam giác vuông cân xuất phát từ đỉnh thì bằng $\dfrac{1}{2}$ cạnh huyền
=>AM=MC và $\widehat{AMC}$=$\widehat{AMB}$=$90^o$(vì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân cũng chính là đường cao)
=>Tam giác AMC vuông cân tại M.
Ta nối M với E(E chính là trung điểm của AC) vậy Ta cũng chia được 2 tam giác vuông tại E theo cách c/m ở trên.
=>Tam giác MEA vuông cân tại E
=>theo định lý pytago ta có:
$AE^2$+$ME^2$=$AM^2$
hay $AE^2$.2=$AM^2$
=>$AE^2$=$\dfrac{AM^2}{2}$
Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AM(cắt AM tại I) ta được tam giác vuông cân tại I
=>AI=IE
theo định lý pytago ta có:
$AI^2$+$IE^2$= $AE^2$ thay $AE^2$=$\dfrac{AM^2}{2}$ ta có:
$AI^2$.2=$\dfrac{AM^2}{2}$
=>$AI^2$=$\dfrac{AM^2}{4}$
=>AI=$\dfrac{AM}{2}$ hay IE=$\dfrac{AM}{2}$ hay IE=MD
mà AI+IM+MD=AD
mà AI=$\dfrac{AM}{2}$;MD=$\dfrac{AM}{2}$;IM=$\dfrac{AM}{3}$(theo tính chất trung tuyến trong tam giác)
=>ID=AM.
Vậy từ các c/m trên ta có Tam giác DIE vuông tại I và có hai cạnh góc vuông là ID,IE hay AM,MD
Xét tam giác BMD và tam giác DIE có
$\widehat{BMD}$=$\widehat{DIE}$(gt và điều kiện khi vẽ thêm)
ID=AM(c/m trên)
IE=MD(c/m trên)
=>Tam giác BMD=Tam giác DIE(c.g.c)
=>BD=DE(hai cạnh tương ứng)
$\widehat{BDM}$=$\widehat{DEI}$(hai góc tương ứng)
$\widehat{MBD}$=$\widehat{IDE}$(hai góc tương ứng)
Xét trong tam giác vuông BDM vuông tại D
=>$\widehat{MBD}$+$\widehat{BDM}$=$90^o$
hay $\widehat{IDE}$+$\widehat{BDM}$=$90^o$(do $\widehat{MBD}$=$\widehat{IDE}$(c/m trên))
Từ BD=DE(c/m trên)
=>Tam giác BDE cân tại D và có góc ở đỉnh là $\widehat{BDE}$
mà $\widehat{BDE}$=$\widehat{IDE}$+$\widehat{BDM}$(do AD nằm giữa AB và AC)
hay $\widehat{BDE}$=$90^o$(do $\widehat{IDE}$+$\widehat{BDM}$=$90^o$(c/m trên))
=>Tam giác BDE vuông cân tại D =>$\widehat{BDE}$=$90^o$
$\widehat{DBE}$=$45^o$;$\widehat{DEB}$=$45^o$ đây chính là các góc trong tam giác BDE.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn