[Toán 7]Bài toán khó

[tranduytrinh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho số nguyên n. Chứng minh A=n^4 - 14n^3 +71n^2 - 154n +120 chia hết cho 24
2, Cho số tự nhiên n. Chứng minh A= (5^n) . (5^n +1) - (6^n) . (3^n +2^n) chia hết cho 91

Chú ý: [Toán 7]+ Tiêu đề

 

[harrypham]

1. $A=n^4-14n^3+71n^2-154n+120$

Ta có hai bổ đề nhỏ sau:

Bổ đề 1: Chứng minh $n^3-n$ chia hết cho $6$.
Hướng dẫn. Phân tích $$n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$$ La tích ba số nguyên Liên tiếp nên có 1 số chia hết cho $3$, ta có đpcm.

Bổ đề 2: Chứng minh $B=(n-1)n(n+1)(n+2)$ chia hết cho $8$.
Hướng dẫn.
+ Với $n$ chẵn, đặt $n=2k$. Ta có $$B=(2k-1)2k(2k+1)2(k+1)=4k(k+1)N$$ chia hết cho $8$.
+ Với $n$ lẻ, đặt $n=2k+1$. Ta có $$B=2k(2k+1)2(k+1)(2k+3)=4k(k+1)M$$ chia hết cho $8$.
Ta có đpcm.

Quay lại bài toán:

Ý 1: Chứng minh $A \vdots 3$.
Phân tích $$\begin{aligned} A & =(n^4+n^3-n^2-n)+72n^2-15n^3-153n+120 \\ & = n \left[ (n^3-n)+(n^2-1) \right]+ 72n^2-15n^3-153n+120 \\ & = n^2(n-1)(n+1)+n(n+1)(n-1)+72n^2-15n^3-153n+120 \end{aligned}$$ chia hết cho $3$.

Ý 2: Chứng minh $A \vdots 3$.
Phan tích $$\begin{aligned} A & = (n^4-2n^3-n^2-2n)-16n^3+72n^2-152n+120 \\ & = n \left[ (n^3-n)+2(n^2-1) \right] -16n^3+72n^2-152n+120 \\ & = n^2(n-1)(n+1)+2n(n-1)(n+1)-16n^3+72n^2-152n+120 \\ & = (n-1)n(n+1)(n+2)-16n^3+72n^2-152n+120 \end{aligned}$$ chia hết cho $8$.

Vậy ta có đpcm.

 

[harrypham]

2. $P=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$
Phân tích $$P=25^n+5^n-18^n-12^n=(25^n-12^n)-(18^n-5^n)$$ chia hết cho $13$.
Và $$P=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)$$ chia hết cho $7$.

Lưu ý. Ở đây ta vận dụng $a^n-b^n$ chia hết cho $a-b$.