Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường trung tuyến AM và BK cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MA = MD. Gọi giao điểm của DK và BC là N.
a) Chứng minh rằng AB = CD và AB song song với CD
b) Chứng minh : KG = KN
c) Cho[TEX]\widehat{ABC}[/TEX] = 60 độ . Chứng minh [TEX]GK^2[/TEX] - [TEX]MN^2[/TEX] =[TEX]AC^2[/TEX]/36
Bài làm
a)Xét tam giác MAB và tam giác MDC có:
BM=MC(gt)
AM=MD(gt)
$\widehat{BMA}$=$\widehat{CMD}$(đđ)
=>Tam giác MAB=Tam giác MDC(c.g.c)
=>$\widehat{DCB}$=$\widehat{CBA}$ mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong =>DC//AB
=>DC=AB(hai cạnh tương ứng)
=>$\widehat{BAC}$=$\widehat{DCA}$
b)Ta xét tam giác BAC và tam giác DCA(c.g.c)
=>$\widehat{ABC}$=$\widehat{ADC}$(hai góc tương ứng)
Xét tiếp tam giác BAK và DCK bằng nhau theo(c.g.c)
=>$\widehat{ABK}$=$\widehat{KDC}$(hai góc tương ứng)
=>Vì $\widehat{ABK}$+$\widehat{KBC}$=$\widehat{ABC}$
và $\widehat{KDC}$+$\widehat{ADK}$
mà $\widehat{ABC}$=$\widehat{ADC}$(c/m trên)
=>$\widehat{KBC}$=$\widehat{ADK}$
=>BK=Dk(hai cạnh tương ứng)
Vì trong tam giác vuông đường trung tuyến từ góc vuông sẽ bằng $\dfrac{1}{2}$ cạnh huyền.=>BM=MD
Từ đây xét tam giác BGM và tam giác DNM bằng nhau theo TH (g.c.g)
=>BG=DM(hai cạnh tương ứng)
=>GM=MN
Mà BG+GK=BK;DN+NK=DK vì BG=DM(hai cạnh tương ứng) và BK=Dk(c/m trên)
=>GK=KN.
c)
Ta có:GK=$\dfrac{1}{3}$.BK (theo tính chất đường trung tuyến)
Do GM=MN(c/ trên) mà GM=$\dfrac{1}{3}$AM =>MN=$\dfrac{1}{3}$AM
Mà theo điều kiện góc ABC=60 độ và thêm cả đièu kiện vẽ trung tuyến AM nữa=>tam giác ABM đều=>AM=AB
=>MN=$\dfrac{1}{3}$AB
Theo định lý pytago xét trong tam giác BAK vuông tại A=>$BK^2$-$AB^2$=$AK^2$
Ta có:$KG^2$-$MN^2$=$(\dfrac{1}{3}.BK)^2$=$(\dfrac{1}{3}.AB)^2$
=$\dfrac{1}{9}$.($BK^2$-$AB^2$)=$\dfrac{1}{9}$.$AK^2$
Mà $AK^2$=$AC^2$ . $\dfrac{1}{4}$
Thay vào ta có:$\dfrac{1}{9}$.$AK^2$=$\dfrac{1}{9}$.$AC^2$ . $\dfrac{1}{4}$
=$AC^2$:36 hay $\dfrac{AC^2}{36}$
Vậy kết luận $KG^2$-$MN^2$=$\dfrac{AC^2}{36}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
