Theo đề ra: $a+2b=48$ \Rightarrow $a\vdots 2^{~~~(1)}$ (do $48\vdots 2;~2b\vdots 2$)
$(a,b)+3.[a,b]=114$ \Rightarrow $(a,b)\vdots 3$ \Rightarrow $a\vdots 3$ và $b\vdots 3^{~~~(2)}$
Từ $^{(1)}$ và $^{(2)}$ ta có $a\vdots 6$
Mà $a+2b=48$ \Rightarrow $6$ \leq $a$ \leq $36$.
Xét $a\in \left\{6;12;18;24;30;36\right\};~b=\dfrac{(48-a)}{2}$