[Toán 6] Toán nâng cao 6, đề số 5

[zidokid]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Với p, q là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng [TEX]p^4-q^4[/TEX] chia hết cho 240.
Bài 2:
Tìm số tự nhiên n để phân số [TEX]A= \frac{8n+193}{4n+3}[/TEX]
a) Có giá trị là số tự nhiên.
b) Là phân số tối giản.
c) Với giá tị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?
Bài 3:
Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: [TEX](x-2)^2.(y-3)^2 = -4[/TEX]
Bài 4:
Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm.
a) Tính BM.
b) Cho biết [TEX]\widehat{BAM}=80^0; \widehat{BAC}=60^0[/TEX]. Tính [TEX]\widehat{CAM}[/TEX]
c) Vẽ tia Ax; Ay lần lượt là tia phân giác của [TEX]\widehat{BAC}; \widehat{CAM}[/TEX]. Tính [TEX]\widehat{xAy}[/TEX].
d) Lấy k thuộc đoạn BM và CK = 1cm. Tính BK.
Bài 5
Tính tổng [TEX]B=\frac{2}{1.4}[/TEX][TEX]+{\frac{2}{4.7}[/TEX][TEX]+{\frac{2}{7.10}+[/TEX][TEX]...+{\frac{2}{97.100}[/TEX]

 

[luongpham2000]

$1. p^4 - q^4 = p^4 - q^4 -1 + 1 = (p^4 - 1) - (q^4 - 1)$
lại có $240 = 8.2.3.5$
ta cần chứng minh $(p^4-1)\ \vdots \ 240$ và $(q^4-1)\ \vdots \ 240$
C/m: $(p^4-1)\ \vdots \ 240$:
$(p^4-1) = (p-1)(p+1)(p^2+1)$
vì $p$ là số nguyến tố lớn hơn $5$ nên $p$ là số lẻ
$\Longrightarrow (p-1)(p+1)$ là tích của $2$ số lẻ liên tiếp nên chia hết cho $8$ $(1)$
Do $p > 5$ nên:
$p = 3k + 1 \rightarrow p - 1 = 3k \rightarrow p - 1\ \vdots \ 3$
hoặc $p = 3k + 2 \rightarrow p + 1 = 3(k + 1) \rightarrow p + 1\ \vdots \ 3$ $(2)$
mặt khác vì $p$ là số lẻ nên $p^2$ là số lẻ $\rightarrow p^2 + 1$ là số chẵn nên $p^2+1\ \vdots \ 2$ $(3)$
giờ cần chứng minh $p^4-1 \ \vdots \ 5$:
$p$ có thể có dạng:
$p = 5k + 1 \rightarrow p - 1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k + 2 \rightarrow p^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 \rightarrow p^2 + 1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k + 3 \rightarrow p^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 \rightarrow p^2+1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k + 4 \rightarrow p + 1 = 5k + 5 \rightarrow p + 1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k$ mà $p$ là số nguyến tố nên $k=1 \rightarrow p = 5$ (ko thỏa mãn ĐK)
$\Longrightarrow p^4 - 1 \ \vdots \ 5$ $(4)$
từ $(1), (2), (3), (4)$, suy ra $p^4-1$ chia hết cho $2.3.5.8$ hay $p^4-1 \ \vdots \ 240$
chứng minh tương tự, ta có: $q^4 - 1 \ \vdots \ 240$
Kết luận.......................

 

[covija]

1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Kết luận gì gì đó

 

[windysnow]

4a. BM = BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm)
b. [TEX]\widehat{CAM} = \widehat{BAM} - \widehat{BAC} = 80^o - 60^o = 20^o[/TEX]
c. [TEX]\widehat{xAy} = \widehat{xAC} + \widehat{yAC} = \frac{60^o}{2} + \frac{20^o}{2} = 30^o + 10^o = 40^o[/TEX]