Mình xin giải câu a) trước. Mình sử dụng một số kiến thức về đồng dư, định lí Fermat nhỏ, nếu không hiểu hãy tìm tài liệu tra cứu. Đây có thể là một phương pháp giải quá dài, nhưng hầu như là tổng quát và có thể giải quyết các trường hợp lớn và rất phức tạp.
Trước hết ta có [TEX]21=3.7;35=5.7;105=3.5.7[/TEX]
Bởi vậy ta sẽ chứng minh A chia hết lần lượt cho 3,5,7.
Đầu tiên là với 3
Ta dễ dàng nhận thấy [TEX]2^{2n}\equiv 1 (mod\3) \forall n [/TEX] và [TEX]2^{2n+1}\equiv 2 (mod\3)\forall n[/TEX].
Do đó
[TEX]A \equiv 1+2+1+2+1+2+1....+1+2 \equiv 30.1+30.2 \equiv 0 (mod \ 3)[/TEX]
Vậy ta có A chia hết cho 3
Tiếp theo với 5 ta có
[TEX]2^{1} \equiv 2 (mod \ 5)\\
2^{2} \equiv 4 (mod \ 5)\\
2^{3} \equiv 3 (mod \ 5)\\
2^{4} \equiv 1 (mod \ 5)[/TEX]
Từ đó ta suy ra
[TEX]2^{4n+1} \equiv 2 (mod \ 5)\\
2^{4n+2} \equiv 4 (mod \ 5)\\
2^{4n+3} \equiv 3 (mod \ 5)\\
2^{4n} \equiv 1 (mod \ 5)[/TEX]
Vậy ta có [TEX]A \equiv 15.1+15.2+15.3+15.4 \equiv 0 (mod \ 5)[/TEX]
Vậy A chia hết cho 5
Tiếp theo ta xử lí số 7
ta có
[TEX]2^{1} \equiv 2 (mod \ 7)\\
2^{2} \equiv 4 (mod \ 7)\\
2^{3} \equiv 3 (mod \ 1)
[/TEX]
Vậy:
[TEX]2^{3n+1} \equiv 2 (mod \ 7)\\
2^{3n+2} \equiv 4 (mod \ 7)\\
2^{3n} \equiv 3 (mod \ 1)[/TEX]
Bởi vậy : [TEX]A \equiv 20.1+20.2+20.3 \equiv 0 (mod \ 7)[/TEX]
Vậy A chia hết cho 7
Vì 3, 5, 7 nguyên tố cùng nhau nên dẫn đến điều phải chứng minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn