$a)$ Giả sử $4n+3$ và $2n+3$ cùng chia hết cho số nguyên tố $d$ thì:
$2(2n+3)-(4n+3)\vdots d\rightarrow 3\vdots d\rightarrow d=3$
Để $(2n+3, 4n+3)=1$ thì $d\neq 3$. Ta có:
$4n+3$ không chia hết cho $3$ nếu $4n$ không chia hết cho $3$ hay $n$ không chia hết cho $3$.
Kết luận: Với $n$ không chia hết cho $3$ thì $4n+3$ và $2n+3$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
$b)$ Giả sử $7n+13$ và $2n+4$ cùng chia hết cho số nguyên tố $d$.
Ta có: $7(2n+4)-2(7n+13)\vdots d\rightarrow 2\vdots d\rightarrow d\in \left\{1;2\right\}$
Để $(7n+13, 2n+4)=1$ thì $d\neq 2$
Ta có: $2n+4$ luôn chia hết cho $2$ khi đó $7n+13$ không chia hết cho $2$ nếu $7n$ chia hết cho $3$ hay $n$ chia hết cho $2$..
Kết luận: Với $n$ chẵn thì thì $7n+13$ và $2n+4$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
$c) 1.$ Xét $n$ chẵn, hai số đều chẵn $\rightarrow$ không nguyên tố cùng nhau
$2.$ Xét $n$ lẻ, ta chứng minh $2$ số này luôn nguyên tố cùng nhau
$9n+24 = 3(3n+8)$
Vì $3n+4$ không chia hết cho $3$, nên ta xét tiếp $3n+8$
Giả sử $k$ là ước số của $3n+8$ và $3n+4$, đương nhiên $k$ lẻ $(a)$
$\rightarrow k$ cũng là ước số của $(3n+8)-(3n+4) = 4 \rightarrow k$ chẵn $(b)$
Từ $(a)$ và $(b) \rightarrow$ Mâu thuẫn
Vậy với $n$ lẻ, $2$ số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau
$d)$ Giả sử $18n+3$ và $21n+7$ cùng chia hết cho số nguyên tố $d$
Ta có: $6(21n+7)-7(18n+3)\vdots d\rightarrow 21\vdots d\rightarrow d\in \left\{3;7\right\}$. Hiển nhiên $d\neq 3$ vì $21n+7$ không chia hết cho $3$.
Để $(18n+3,21n+7)=1$ thì $d\neq 7$ tức là $18n+3$ không chia hết cho $7$ nếu $18n+3-21$ không chia hết cho $7\leftrightarrow 18(n-1)$ không chia hết cho $7\leftrightarrow n-1$ không chia hết cho $7\leftrightarrow n\neq 7k+1(k\in \mathbb{n}) $
Kết luận: Với $n\neq 7k+1(k\in \mathbb{N}$ thì $18n+3$ và $21n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn