[Toán 6 ] siêu khó

[satthuphucthu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho các số: 30, 42, 56, 72, 90, 110
Tính tổng nghịch đảo của các số đó bằng cách nhanh nhất .

Bài 2: Tìm các số nghịch đảo của các số sau rồi chứng minh tổng các số nghịch đảo của các số đó không là các số nguyên:
a) 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; ............................ ; 17
b) 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ............................ ; 101

Bài 3*: Chứng tỏ rằng tổng của 1 số lớn hơn 0 với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

Bài 4*: Tồn tại hay không 2 số nguyên dương khác nhau sao cho:

[TEX]\frac{1}{a}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{b}[/TEX] = [TEX]\frac{1}{a - b}[/TEX]

Bài 5*: Chứng tỏ rằng :

a) [TEX]\frac{3}{ 5 . 2!}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{ 5 . 3!}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{ 5 . 4!}[/TEX] + .......... + [TEX]\frac{3}{ 5 . 100!}[/TEX] < [TEX]\frac{3}{ 5 }[/TEX]

b) [TEX]\frac{1}{ 2!}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{ 3!}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{ 4!}[/TEX] + .......... + [TEX]\frac{1}{ 100!}[/TEX] < 1

c) [TEX]\frac{3}{ 4!}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{ 5!}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{ 6!}[/TEX] + .......... + [TEX]\frac{3}{ 100!}[/TEX] < [TEX]\frac{1}{ 3!}[/TEX]

d) [TEX]\frac{9}{ 10!}[/TEX] + [TEX]\frac{9}{11!}[/TEX] + [TEX]\frac{9}{ 12!}[/TEX] + .......... + [TEX]\frac{9}{ 1000!}[/TEX] < [TEX]\frac{1}{ 9!}[/TEX]

Bài 6*: Cho dãy số sau:

[TEX]\frac{1}{5}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{45}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{117}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{221}[/TEX] ; [TEX]\frac{1}{357}[/TEX] ; ...........................

a) Tìm quy luật dãy số.

b) Viết dạng tổng quát và tìm số ở vị trí thứ 100 của dãy

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy

 

[toanhvbd@gmail.com]

Bài 3)
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử [TEX]x[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{1}{x}[/TEX][TEX]< \[/TEX][TEX]2[/TEX] [TEX](1)[/TEX]

[TEX](1)[/TEX][TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\frac{x^2+1}{x}[/TEX][TEX]< \[/TEX][TEX]2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]x^2+1[/TEX][TEX]< \[/TEX][TEX]2x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]x^2-2x+1[/TEX][TEX]< \[/TEX][TEX]0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX](x-1)^2[/TEX][TEX]<\[/TEX][TEX]0[/TEX] (Vô lý)
Vậy [TEX]x[/TEX][TEX]+[/TEX][TEX]\frac{1}{x}[/TEX][TEX]\ge \[/TEX][TEX]2[/TEX]

 

[toanhvbd@gmail.com]

Bài 4)
Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương khác nhau thỏa mãn [TEX]\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b} (1)[/TEX]

[TEX](1)\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}[/TEX]

[TEX](1)\Leftrightarrow[/TEX][TEX](b-a)(a-b)=ab[/TEX]
[TEX](1)\Leftrightarrow[/TEX][TEX](a-b)^2=-ab[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
Ta có
[TEX](a-b)^2[/TEX][TEX]>\0[/TEX]
-[TEX]ab<\0[/TEX]
[TEX]\rightarrow \(2)[/TEX] Vô lý
Vậy không tồn tại 2 số thỏa mãn đề bài.
Bài 6)
a)Quy luật của dãy số:

[TEX]\frac{1}{16n^2-8n-3}[/TEX] với mọi [TEX]n= \overline{1;i} (i\in \ \mathbb N)[/TEX]
Để tìm ra quy luật này bạn có thể tham khảo tại
http://www.youtube.com/watch?v=BjqR_mzHzhI
b)Dạng tổng quát
[TEX]\left{\begin{u_1=5}\\{u_n=u_{n-1}}+32n-24[/TEX]với[TEX]n\ge\2[/TEX]
Số hạng thứ 100 của dãy:
[TEX]a_{100}=\frac{1}{16.100^2-8.100-3}=\frac{1}{159197}[/TEX]
c)
[TEX]S_{100}=\frac{1}{5}+\frac{1}{45}+\frac{1}{117}+...+\frac{1}{159197}[/TEX]
[TEX]S_{100}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+...+\frac{1}{397.401}[/TEX]
[TEX]S_{100}=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{397}-\frac{1}{401})[/TEX]
[TEX]S_{100}=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{401})[/TEX]
[TEX]S_{100}=\frac{100}{401}[/TEX]

 

[congratulation11]

Bài 1 dễ nhất!

$\text{Tổng nghịch đảo cảu các số đã cho là:} \ \
\frac{1}{30} +\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}\ \
= \frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+\frac{1}{9.10}+\frac{1}{10.11} \ \
=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{11} \ \
= \frac{1}{5}-\frac{1}{11}=
\frac{6}{55}$

 

[nhuquynhdat]

Bài 6
a) Quy luật: $\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{5.9}; \dfrac{1}{9.13};.....$
b) tổng quát: $\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{a(a+4)};....$

 

[thangvegeta1604]

4) Theo đề bài chắc chắn a khác b vì nếu a=b thì a-b=0.\Rightarrow Vế phải không tồn tại.
Ta có $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a-b}$ nên:
$\dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{1}{a-b}$
\Rightarrow (b-a).(a-b)=ab.
Vì a, b khác nhau nên vế trái là tích 2 số đối nhau chắc chắn sẽ nhận giá trị âm. Mặt khác a, b nguyên dương nên vế phải sẽ nhận giá trị dương.\Rightarrow Không có a, b thỏa mãn đề bài.