[Toán 6] siêu khó

[satthuphucthu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương. Chứng tỏ A và B không là số nguyên biết rằng:
a) A = [TEX] \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c+a}[/TEX]
b) B = [TEX]\frac{a}{a + b + c} + \frac{b}{b + c + d} + \frac{c}{c + d + a}[/TEX] + [TEX]\frac{d}{d + a + b}[/TEX]

Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a) [TEX] \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + ... + \frac{1}{200} > \frac{1}{2}[/TEX]
b) [TEX]\frac{1}{301} + \frac{1}{302} + \frac{1}{303} + ... + \frac{1}{700} > \frac{4}{7}[/TEX]
c) [TEX]1 < \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{16} + \frac{1}{17} < 2[/TEX]

Bài 3: Tính
a) A = [TEX]\frac{3}{4} . \frac{8}{9} . \frac{15}{16} . ... . \frac{2499}{2500}[/TEX]
b) B = [TEX]\frac{4}{1 . 3} + \frac{4}{3 . 5} + \frac{4}{5 . 7} + ... + \frac{4}{99 . 101}[/TEX]
c) C = [TEX] \frac{5}{1 . 5} + \frac{5}{5 . 9} + \frac{5}{9 . 13} + ... + \frac{5}{101 . 105}[/TEX]
d) D = [TEX](1 - \frac{1}{7}) . (1 - \frac{2}{7}) . (1 - \frac{3}{7}) . ... . (1 - \frac{10}{7})[/TEX]

Quan trọng là bài 1 đấy - siêu khó​

 

[vipboycodon]

Bài 3b: Chém bài dễ trước.
$B = \dfrac{4}{1.3}+\dfrac{4}{3.5}+\dfrac{4}{5.7}+...+ \dfrac{4}{99.101}$
$B = 2(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{99.101})$
$B = 2(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101})$
$B = \dfrac{200}{101}$

 

[riverflowsinyou1]

1) Anh thử giải xem không biết đúng không nhé
Xét trường hợp
a<b<c thì $\frac{a}{b+c}$ không thể là số nguyên
$\frac{b}{a+c}$ không thể là số nguyên
$\frac{c}{a+b}$ cũng có thể là số nguyên
Vậy ta thử xét xem $\frac{b}{a+c}$+$\frac{a}{b+c}$ có phải là số nguyên hay không
$\frac{b}{a+c}$+$\frac{a}{b+c}$=$\frac{c.(a+b)+a^2+b^2)}{c.(a+b)+b.a+c^2}$
Xét về mặt $a^2$+$b^2$ và b.a+$c^2$ thì 2 số khác nhau hoàn toàn vì $a^2$<b.a;$c^2$>$b^2$ => b.a+$c^2$>$a^2$+$b^2$ => $\frac{b}{a+c}$+$\frac{a}{b+c}$ không thể là một số nguyên
=> tổng này không thể là một số nguyên
Rồi em xét tiếp trường hợp c<b<a;c<a<b;b<a<c;a<c<b;b<c<a
Cách này là dùng để trong trường hợp bí cách logic hơn để anh suy nghĩ sau đây là biện pháp tạm thời cái đã

 

[vipboycodon]

Bài 1 :
$A = \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}$
Có : $a+b < a+b+c$ => $\dfrac{a}{a+b} > \dfrac{a}{a+b+c}$
tương tự với 2 cái kia, cộng lại ta được $A > 1$ $(1)$.
Mặt khác : $A = \dfrac{a+b-b}{a+b}+\dfrac{b+c-c}{b+c}+\dfrac{a+c-a}{a+c}$
$= 3-(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c})$ (*)
Từ (*) => A < 2 (vì biểu thức trong ngoặc cũng lớn hơn 1) $(2)$
Từ $(1)$ , $(2)$ => $1 < A < 2$
Mà ở giữa 2 số 1 và 2 ko có số nguyên khác nên ta có đpcm.

 

[riverflowsinyou1]

Số nguyên dương mà em chưa đọc kĩ lại đề ah .......................................................................................................

 

[satthuphucthu]

Xét trường hợp
a<b<c thì $\frac{a}{b+c}$ không thể là số nguyên
$\frac{b}{a+c}$ không thể là số nguyên
$\frac{c}{a+b}$ cũng có thể là số nguyên

Cái này: (a < b < c) thì $\frac{a}{b+c}$ cũng có thể là số nguyên đó anh
VD: a = -3 ; b = -2 ; c = -1 thì $\frac{-3}{ -2 + -1}$ = 1 (đung hok ?) mak em bấm trong máy tính ra [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

 

[satthuphucthu]

Mặt khác : $A = \dfrac{a+b-b}{a+b}+\dfrac{b+c-c}{b+c}+\dfrac{a+c-a}{a+c}$
$= 3-(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c})$ (*)
Từ (*) => A < 2 (vì biểu thức trong ngoặc cũng lớn hơn 1) $(2)$
Từ $(1)$ , $(2)$ => $1 < A < 2$
Mà ở giữa 2 số 1 và 2 ko có số nguyên khác nên ta có đpcm..

Cái này em ko hỉu ???^^

Có : $a+b < a+b+c$ => $\dfrac{a}{a+b} > \dfrac{a}{a+b+c}$
tương tự với 2 cái kia, cộng lại ta được $A > 1$ $(1)$.

Cái này em cũng ko hỉu ???^^

 

[vipboycodon]

Vì $a,b,c > 0$ nên $a+b < a+b+c$ => $\dfrac{1}{a+b} > \dfrac{1}{a+b+c}$ <=> $\dfrac{a}{a+b} > \dfrac{a}{a+b+c}$
Cộng lại => $A > \dfrac{a+b+c}{a+b+c} = 1$
còn cái kia là : $A = \dfrac{a+b-b}{a+b} = 1-\dfrac{b}{a+b}$
mấy cái kia tương tự.

 

[riverflowsinyou1]

Giải

3) c)
C= $\frac{5}{4}$.($\frac{1}{1}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-...........+$\frac{1}{101}$-$\frac{1}{105}$)=$\frac{5}{4}$.($\frac{1}{1}$-$\frac{1}{105}$) ngang đoạn này em tự tính ra nhé

 

[riverflowsinyou1]

Câu d họ cũng đánh đố em thôi
= 6/7 . 5/7 ............. (1- 7/7)............. (-3)/7=6/7.......0.........(-3)/7=0

 

[riverflowsinyou1]

Chơi luôn

1) b)
Xét với a,b,c,d nhỏ nhất thì a=b=c=d=1 vì a,b,c,d nguyên dương
Nên B=4:3 \Rightarrow B>1
Ok tiếp nhé
Theo cách của anh vipboycodon thì em tiếp tục làm như thế thì
B=4-($\frac{c+b}{a+b+c}$+$\frac{c+d}{b+c+d}$+$\frac{a+d}{a+d+c}$+$\frac{a+b}{d+a+b}$)
Nhận thấy $\frac{c+b}{a+b+c}$+$\frac{c+d}{b+c+d}$+$\frac{a+d}{a+d+c}$+$\frac{a+b}{d+a+b}$ về phía cạnh nếu a=b=c=d thì tổng này = 8:3
\Rightarrow B<2 còn nếu a khác b khác c khác d thì tổng này vẫn lớn hơn 0
Tiếp thì 1<B<2 \Rightarrow ko là số nguyên

 

[riverflowsinyou1]

Bài 3 a

A= (1.3.2.4.3.5......................49.51) : ( 2^2. 3^2 . 4^2 .................. 50 ^2 )
A= ( 1.2. (3^2).(4^2)............. (49^2).50.51). (2^2. 3^2 ............... 50^2)
A= $\frac{51}{50.2}$=$\frac{51}{100}$
Ngồi nhẩm trong cái đầu ra

 

[eye_smile]

Bài 1b:
Ta có: $\dfrac{a}{a+b+c+d}$ < $\dfrac{a}{a+b+c}$
$\dfrac{b}{a+b+c+d}$ < $\dfrac{b}{b+c+d}$
$\dfrac{c}{a+b+c+d}$ < $\dfrac{c}{c+d+a}$
$\dfrac{d}{a+b+c+d}$ < $\dfrac{d}{d+a+b}$
Cộng theo vế, ta được: $1<B$
Với $a;b;n$ nguyên dương, $a<b$, ta có: $\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+n}{b+n}$
AD, ta được:
$\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a+d}{a+b+c+d}$
$\dfrac{b}{b+c+d}<\dfrac{b+a}{a+b+c+d}$
$\dfrac{c}{c+d+a}<\dfrac{c+b}{a+b+c+d}$
$\dfrac{d}{d+a+b}<\dfrac{d+c}{a+b+c+d}$
Cộng theo vế suy ra $B<2$
Suy ra B nằm giữa 2 Số tự nhiên liên tiếp
Suy ra B không phải là số nguyên

 

[congchuaanhsang]

1b, Do a,b,c,d là các số nguyên dương nên

$\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}
{a+b+c+d}$<B<$\dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{b+a}{a+b+c+d}+\dfrac{c+b}{a+b+c+d}+\dfrac{d+a}{a+b+c+d}$

\Leftrightarrow 1<B<2 \Leftrightarrow đpcm