[Toán 6] Nâng cao

E

eye_smile

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{{a^2}+{b^2}}{ab}$ \geq $\dfrac{2ab}{ab}=2$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b$
 
R

riverflowsinyou1

Giải

hongnhung.2002 said:
Cho a,b [TEX]\in[/TEX] N và a>b>0. Chứng tỏ
[TEX]\frac{a}{b}+[/TEX][TEX]\frac{b}{a}> 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Từ đề suy ra = $\frac{a^2+b^2}{a.b}$
Lại có a>b>0
\Rightarrow $a^2$>$b^2$ và $a^2$>a.b;$b^2$<a.b
\Rightarrow $a^2$+$b^2$>a.b
Vậy nên $\frac{a^2+b^2}{b.a}$>1 (1)
a>b>0 nên ta gọi A=$a^2$+$b^2$;B=a.b
\Rightarrow A\geq5;B\geq2 ( dau "=" xảy ra \Leftrightarrow a=2.b)
Vậy nên Min$\frac{A}{B}$=2,5
Lại có Min$\frac{A}{B}$>2 \Rightarrow $\frac{A}{B}$>2(2)
Từ (1);(2) \Rightarrow đpcm
 
Last edited by a moderator:
F

forum_

Thêm 1 cách nữa:

Ta luôn có bđt đúng sau:

$(\sqrt[]{\dfrac{a}{b}} - \sqrt[]{\dfrac{b}{a}})^2$ \geq 0

<=> $(\sqrt[]{\dfrac{a}{b}} - \sqrt[]{\dfrac{b}{a}})(\sqrt[]{\dfrac{a}{b}} - \sqrt[]{\dfrac{b}{a}})$ \geq 0

<=> $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ \geq 2

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi a=b >0

Lên lớp 8 đây chính là bđt Cauchy:)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
R

riverflowsinyou1

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Swarchz ta có
\frac{a}{b}+$\frac{b}{a}$\geq2 \forall a,b nguyên dương
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom