[ Toán 6 ] Một số bài toán thi hsg các nước trên thế giớí

[thieukhang61]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: (IMO 1960)
Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số.
Bài 2: (Romania 1999)
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho [TEX]\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}[/TEX]. chứng minh rằng [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX] không phải là số nguyên tố.
Bài 3: (St. Petersburg City MO 1998)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (n khác 1), giữa [TEX]n^2[/TEX] và [TEX](n+1)^2[/TEX] có thể tìm được ba số tự nhiên a, b, c sao cho [TEX]a^2+b^2[/TEX] chia hết cho c.
Cố lên các bạn ơi!

 

[thieukhang61]

Bài 1: (IMO 1960)
Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số.
Bài 2: (Romania 1999)
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a khác c sao cho [TEX]\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}[/TEX]. chứng minh rằng [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX] không phải là số nguyên tố.
Bài 3: (St. Petersburg City MO 1998)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, giữa [TEX]n^2[/TEX] và [TEX](n+1)^2[/TEX] có thể tìm được ba số tự nhiên a, b, c sao cho [TEX]a^2+b^2[/TEX] chia hết cho c.
Cố lên các bạn ơi!

..................................................................

 

[forum_]

Bài 1

Gọi số phải tìm là $\overline{abc}$ với a,b,c thuộc N và 0 \leq a,b,c \leq 9 ; a khác 0

Ta có: $\dfrac{\overline{abc}}{11} = a^2 + b^2 + c^2$

\Rightarrow $100a + 10b + c = 11.(a^2 + b^2 + c^2)$

\Leftrightarrow $99a + 11b + ( a - b + c )= 11.(a^2 + b^2 + c^2)$ (1)

( a - b + c ) chia hết cho 11 và -8 \leq a - b + c \leq 18

* a - b + c =0: (1) \Rightarrow $9a + b = 11.(a^2 + b^2 + c^2)$

Thay $b = a+c$: $10a + c = 2(a^2 + b^2 + c^2)$ (2)

\Rightarrow c = 2.[a(a-5) + c(a+c)]

\Rightarrow c chia hết cho 4

-Nếu c khác 0 thì (2) \Rightarrow $10a > 2a^2 + 2ac = 2ab$

\Rightarrow 5 > b > c \Rightarrow c \leq 3, ko t.m c chia hết cho 4 và c khác 0

-Nếu c = 0, thay vào (2) tìm a, rồi suy ra b \Rightarrow $\overline{abc}$ = 550

* a - b + c =11: (1) \Rightarrow $9a + b +1 = (a^2 + b^2 + c^2)$ (3)

Thay a- b+c =11 \Rightarrow $10a + c -10 = 2(a^2 + c^2 +ac - 11a - 11c) + 121$

\Rightarrow c = 2.[a(a - 11) + c(c-11) + a(c-5)] + 131

\Rightarrow c+1 chia hết cho 4 \Rightarrow c = 7 hoặc c= 3

-Nếu c =7

(3) \Rightarrow $a^2 - 9a +34 =0$ , vô nghiệm trên R \Rightarrow vô nghiệm trên Z

-Nếu c = 3

(3) \Rightarrow $a^2 - 13a + 40 =0$ \Rightarrow a =5 hoặc a = 8

Mặt khác: a- b +c =11

\Leftrightarrow b = a+c -11 = a -8 > 0 \Rightarrow a \geq 8

Do đó: a=8 \Rightarrow $\overline{abc}$ = 803

Vậy: có 2 số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 550 và 803

 

[riverflowsinyou1]

Bài 2 mih giải kko biết đúng ko nhưng cảm ơn vì đã đăng nhưng phải này

Giả sử a^2+b^2+c^2 là một số nguyên tố vậy thì
Đặt a^2+b^2+c^2=k( k chia hết cho một số nào đó \Rightarrow a^2+b^2=k-c^2;c^2+b^2=k-a^2 nên
[tex]\frac{a}{c}[/tex]=[tex]\frac{k-c^2}{k-a^2}[/tex]
\Leftrightarrow a.k-a^3=c.k-c^3 ta có a khác c \Rightarrow a.k khác c.k và a^3;c^3 khác nhau nên nếu trường hợp trên chỉ xảy ra khi a.k-a^3=c.k-c^3=0 vậy thì a=c=0 vô lí vì a;c khác nhau mà a^2+b^2>0;c^2+b^2>0 \Rightarrow a;c cùng dấu
Vậy \Rightarrow đpcm
KO BIẾT ĐÚNG KO nữa:-SS:-SS:-SS=((=((

 

[thieukhang61]

Giả sử a^2+b^2+c^2 là một số nguyên tố vậy thì
Đặt a^2+b^2+c^2=k( k chia hết cho một số nào đó \Rightarrow a^2+b^2=k-c^2;c^2+b^2=k-a^2 nên
[tex]\frac{a}{c}[/tex]=[tex]\frac{k-c^2}{k-a^2}[/tex]
\Leftrightarrow a.k-a^3=c.k-c^3 ta có a khác c \Rightarrow a.k khác c.k và a^3;c^3 khác nhau nên nếu trường hợp trên chỉ xảy ra khi a.k-a^3=c.k-c^3=0 vậy thì a=c=0 vô lí vì a;c khác nhau mà a^2+b^2>0;c^2+b^2>0 \Rightarrow a;c cùng dấu
Vậy \Rightarrow đpcm
KO BIẾT ĐÚNG KO nữa:-SS:-SS:-SS=((=((

Bạn giả sử $k$ là số nguyên tố, nhưng trong bài làm, bạn không hề áp dụng một tính chất nào của số nguyên tố để chứng minh cả\Rightarrow Chứng minh phản chứng bị sai..............................................................................................

 

[riverflowsinyou1]

!!

Bạn giả sử $k$ là số nguyên tố, nhưng trong bài làm, bạn không hề áp dụng một tính chất nào của số nguyên tố để chứng minh cả\Rightarrow Chứng minh phản chứng bị sai..............................................................................................

Thì bạn thêm một vài ý nữa là k-a^2 nguyên tố ; k-c^2 nguyên tố mà c khác a khác 0 nên nếu để 2 cái này = nhau \Leftrightarrow a=c vô lí chưa còn nếu a^2=c^2 thì 2 số này đối nhau => a.k-a^3 khác k.c-c^3 khác nhau và nó còn đối nhau nữa

 

[tienganh123a]

________
/________/ \
| |__| | |
|_______ |_ | ( ^ ^ )
( __ )
( _ _ )
Đẹp vẫy