[Toán 6] Đề thi HSG 6

[sieumau88]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1 :
Tìm $x,y\in Z$ sao cho $\dfrac{1}{x}+\dfrac{y}{6}=\dfrac{1}{2}$

Câu 2 :
a) Tìm số tự nhiên $a$ để A = 1! + 2! + 3! +...+ $a$! là một số chính phương.
b) Tìm số tự nhiên $b$ để B = $b^2$ + 2014 là một số chính phương .

Câu 3 : Chứng minh rằng
Với mọi số tự nhiên $n$ thì ta luôn có ${3}^{4n+1}+2$ chia hết cho 5 .

 

[thong7enghiaha]

b) Tìm số tự nhiên $b$ để B = $b^2$ + 2014 là một số chính phương .

Anh giải khác bé, kết quả cũng khác

Vì $b$ là số tự nhiên nên $b^2$ là số chính phương.

$\to b^2 \equiv 0; 1 (mod 4)$

TH1: $b^2 \equiv 0 (mod 4)$

$\to b^2$ có dạng $4k$ hay $b^2+2014$ có dạng $4k+2014$ chia $4$ dư 2 nên không thể là số cp.

TH2: $b^2 \equiv 1 (mod 4)$

$\to b^2$ có dạng $4k+1$ hay $b^2+2014$ có dạng $4k+1+2014=4k+2015$ chia $4$ dư $3$ nên cũng không thể là số cp.

Vậy không có số tự nhiên $b$ nào để $b^2+2014$ là số cp.

 

[thong7enghiaha]

Câu 3 : Chứng minh rằng
Với mọi số tự nhiên $n$ thì ta luôn có ${3}^{4n+1}+2$ chia hết cho 5 .

3.

$3^{4n+1}+2=81^n.3+2$

Ta có: $81 \equiv 1 (mod 5)$

\Rightarrow$81^n \equiv 1 (mod 5)$

\Rightarrow $81^n.3 \equiv 3 (mod 5)$ (1)

Và $2 \equiv 2 (mod 5)$ (2)

(1) và (2) $\to 81^n.3+2 \equiv 5 (mod 5)$

$\to 81^n.3+2$ chia hết cho $5$

$\to Q.E.D$

 

[thong7enghiaha]

2. a)

Với $a=1$ thì $A$ là số cp.

Với $a=2$ thì $A$ không phải số cp.

Với $a=3$ thì $A$ là số cp.

Với $a=4$ thì $A$ không là số cp.

Với $a \ge 5$ thì $5!+6!+7!+...+a!$ có tận cũng bằng $0 \to A$ có tận cùng bằng $3$.

Mà số cp không thể có tận cũng bằng $3$ nên pt chỉ có 2 nghiệm tự nhiên là $S\in${$1; 3$}

 

[0973573959thuy]

Câu 1:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{y}{6} = \frac{3}{6} - \frac{y}{6} = \frac{3-y}{6}$
\Rightarrow $x(3-y) = 6$

Đến đây thì dễ rồi, bạn xét từng trường hợp x, 3 - y nhận các giá trị là ước nguyên của 6.
Câu 2b :
Giả sử : $b^2 + 2014 = m^2$ trong đó m là số nguyên dương.
\Rightarrow $2014 = m^2 - b^2 = (m+b)(m-b)$
Do đó trong 2 số m + b; m - b phải có một số chẵn.
Mặt khác (m - b) + (m +b) = 2m là số chẵn nên 2 số m + b và m - b cũng tính chẵn, lẻ nên 2 số m + b và m - b đều là 2 số chẵn, suy ra (m+b)(m - b) chia hết cho 4. Mà 2014 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên b để $2014 + b^2$ là số chính phương.
Đây là phương pháp chứng minh bằng cách phản chứng.
Bài này trong sách nâng cao toán 6 + 7 đều đề cập tới.

Câu 3 :
Với n = 0 thì $3^{4n + 1} + 2 = 3 + 2 = 5 \vdots 5$
Với n = 1 thì $3^{4n + 1} + 2 = 3^5 + 2 = 3^{4+1} + 2 = 3^4. 3 + 2 = (...1). 3 + 2 = (...3) + 2 = (...5) \vdots 5$
Với n > 1 thì $3^{4n + 1} + 2 = 3^{4n}.3 + 2 = (...1). 3 + 2 = (...3) + 2 = (...5) \vdots 5$
Vậy với mọi $n \in N$ thì $3^{4n + 1} + 2 \vdots 5$

 

[sieumau88]

Cảm ơn các anh, các chị, các bác đã giải đề rất nhiệt tình
Đây là đề thi HSG lớp 6 Tiếp tục nữa ạ ^^
_________

Câu 4 :
a) CMR với mọi $n\in$ N, thì (7$n$+10) và (5$n$+7) là hai số nguyên tố cùng nhau .
b) Tìm $m\in$ N để các số sau nguyên tố cùng nhau: (7$m$+13) và (2$m$+4).
c) Tìm ƯCLN (2$a$-1 , 9$a$+4) ; với $a\in$ N .

 

[thangvegeta1604]

Câu 4: a) Gọi ƯCLN(7n+10; 5n+7) là a
Suy ra:$7n+10\vdots a$ và $5n+7\vdots a$
Suy ra: $5.(7n+10)\vdots a$ và $7.(5n+7)\vdots a.$
Suy ra: $[5.(7n+10)]-[7.(5n+7)]\vdots a$
Suy ra: $ (35n+50)-(35n+49)\vdots a.$
Suy ra: $50-49\vdots a.$
Suy ra: $1\vdots a$. Suy ra a=1.
Vì ƯCLN(7n+10; 5n+7)=1 nên chúng là 2 số nguyên tố cùng nhau.

 

[0973573959thuy]

Câu 4b :
Tìm m∈ N để các số sau nguyên tố cùng nhau: (7m+13) và (2m+4).
Để 7m + 13 và 2m + 4 nguyên tố cùng nhau thì (7m +13, 2m +4) = 1.
Mà với mọi $m \in N$ thì 2m + 4 là số chẵn.
Muốn (7m + 13, 2m +4) = 1 thì 7m + 13 phải là số lẻ.
Xét m = 2k + 1 ($k \in N$)
$7m + 13 = 14k + 20 \vdots 2$
nên 7m + 13 là số chẵn
Xét m = 2k ($k \in N$)
$7m + 13 = 14k + 13$ không chia hết cho 2
nên 7m + 13 là số lẻ.

Vậy với m là số chẵn thì 7m + 13 và 2m + 4 nguyên tố cùng nhau.
c) Tìm ƯCLN (2a-1 , 9a+4) ; với a∈ N .
Gọi ƯCLN(2a - 1, 9a + 4) = d
\Rightarrow $2a - 1\vdots d; 9a + 4 \vdots d$
\Rightarrow $9(2a - 1) \vdots d; 2(9a + 4) \vdots d$
\Rightarrow $ 18a - 9 \vdots d; 18a + 8 \vdots d$
\Rightarrow $18a - 9 -18a - 8 = -17 \vdots d$
\Rightarrow d = 17

 

[hiennguyenthu082]

Câu 4
b. Giả sử 7m+13 và 2m+4 cùng chia hết cho một số nguyên tố là d
Suy ra : 7m+13 chia hết cho d
2m+4 chia hết cho d
Suy ra : (7m+13)- (2m+4) chia hết cho d
2(7m+13)-7(2m+4) chia hết cho d
14m+26-14m-28 chia hết cho d
2 chia hết cho d
d là Ư(2)
Vì d là số nguyên tố nên d=2
Để (7m+13;2m+4)=1 thì d=1 suy ra d phải khác 2
7m+13 không chia hết cho 2
hoặc 2m+4 không chia hết cho 2
Ta thấy 2m+4 chia hết cho 2 với mọi m
suy ra :để 7m+13 không chia hết cho 2 ( mà 13 không chia hết cho 2) thì 7m chia hết cho 2
suy ra m chia hết cho 2 ( hay m là số chẵn)

 

[minhphatad]

Câu 1 :
Tìm [FONT=MathJax_Math-italic][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600]x[/FONT][FONT=MathJax_Main][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600],[/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600]y[/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Main][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600]∈[/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]Z[/FONT]

sao cho [FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]

[/FONT][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT]

[/FONT][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600][/FONT][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600]

[/FONT][FONT=MathJax_Main][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600]+[/FONT][/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600]y[/FONT][/FONT][FONT=ea9bd3dac1f0b279004bb9a0#541600]

[/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][FONT=MathJax_Main]6[/FONT]

[/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600]

[/FONT][FONT=MathJax_Main][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600]=[/FONT][/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]

[/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][FONT=MathJax_Main]2[/FONT]

[/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600]

[/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600]

[/FONT][FONT=7253d757afc94e7c004bb9a0#541600][/FONT]
.
[/FONT]
__________________
Giải:
1)
1/x+y/6=1/2
1/2-y/6=1/x
=3/6-y/6
=3-y/6
3-y=1\Rightarrowy=2
x=6