Xét $1000$ số $7;7^2;7^3;\cdots ;7^{1000}$ khi chia cho $1000$ có các số dư $0;1;2;3;4;\cdots;999$
Do $7$ là số lẻ
$\implies 7^n$ cũng là số lẻ $(1 \le n \le 1000)$
Mà $1000$ là số chẵn
$\implies 7^n$ không chia hết cho $1000$
Hay khi chia $7^n$ cho $1000$ không có dư $0$
Nên khi chia $7^n$ cho $1000$ chỉ có $999$ số dư
Theo nguyên lý Đirichle có $1000$ số mà có $999$ số dư nên sẽ có $2$ số có cùng số dư
Gọi hai số đó là $7^m$ và $7^n$ $(m>n)$
Khi hai số này có cùng số dư
$\implies 7^m-7^n \quad \vdots \quad 1000 \\
\iff 7^n(7^{m-n} - 1) \quad \vdots \quad 1000$
Mà $7^n$ không chia hết $1000$ (cmt)
$\implies 7^{m-n} - 1 \quad \vdots \quad 1000$
Hay $7^{m-n}$ tận cùng bằng $001$
Đặt $7^{m-n} = 7^k$
Vậy tồn tại $7^k$ có tận cùng bằng $001$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn