Nhận xét quy luật của tử số :
Phân số thứ 1 $\to 1$
Phân số thứ 2 $\to 1 + 2\times2$
Phân số thứ 3 $\to 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3$
...
Phân số thứ $n \to 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + ...+ 2 \times n$
Mà $109 = 1 + 2\times2 + 2\times3 + ...+ 2\times10$
Vậy $T$ sẽ có 11 số hạng gồm:
$(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{11}{12} +...+ \dfrac{109}{110}) + \dfrac{10}{11}$
Mà $\dfrac{1}{2} = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{1\times2}$
$\dfrac{5}{6} = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2\times3}$
$\dfrac{11}{12} = 1 - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3\times4}$
...
$\dfrac{89}{90} = 1-\dfrac{1}{90} = \dfrac{1}{9\times10}$
$\dfrac{109}{110} = 1 - \dfrac{1}{110} = \dfrac{1}{10\times11}$
Vì $T$ có 10 số hạng như vậy nên
$T = 1 \times 10 + \dfrac{10}{11} - (\dfrac{1}{1}\times2 + \dfrac{1}{2}\times3 + \dfrac{1}{3}\times4 + ...+ \dfrac{1}{9}\times10 + \dfrac{1}{10}\times11)$
Chỉ tính riêng $(\dfrac{1}{1}\times2 + \dfrac{1}{2}\times3 + \dfrac{1}{3}\times4 + ...+ \dfrac{1}{9}\times10 + \dfrac{1}{10}\times11)$ \Rightarrow ta có nhận xét :
$\dfrac{1}{1}\times2 = 1 - \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2}\times3 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{3}\times4 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$
...
$\dfrac{1}{10\times11} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11}$
Vậy $(\dfrac{1}{1\times2} + \dfrac{1}{2\times3} + \dfrac{1}{3\times4} + ...+ \dfrac{1}{9\times10} + \dfrac{1}{10\times11})$
$= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11} = 1 - \dfrac{1}{11} = \dfrac{10}{11}$
Thay $(\dfrac{1}{1\times2} + \dfrac{1}{2\times3} + \dfrac{1}{3\times4} + ...+ \dfrac{1}{9\times10} + \dfrac{1}{10\times11}) = \dfrac{10}{11}$
Ta có $T = 10 \times1 + \dfrac{10}{11} - \dfrac{10}{11}$
$T = 10$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
