[TEX]x+ \sqrt{x^2+1}=2012^x(1)[/TEX]
:-SS%%-|-)
giải hộ m nhé
Lời Giải:
Xét 2 TH sau:
TH 1: x > 0
Theo BĐT Cauchy:
[TEX] \sqrt{x^2+1} \leq \frac{x^2+2}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT (1) \leq x+ \frac{x^2}{2}+1[/TEX]
Ta sẽ chứng minh: [TEX]2012^x > \frac{x^2}{2}+x+1, x > 0[/TEX]
Thật vậy: Xét hàm số [TEX]f(x)=2012^x- \frac{x^2}{2}-x-1, x > 0[/TEX]
[TEX]f'(x)=2012^xln2012-x-1[/TEX]
[TEX]f"(x)=2012^xln^22012-1 > ln^22012-1 > 0( do: x> 0 \Rightarrow 2012^x > 1)[/TEX]
\Rightarrow f'(x) đồng biến \Rightarrow f'(x) > f(0)=ln2012-1 > 0
\Rightarrow f(x) đồng biến \Rightarrow f(x) > f(0)=0
\Rightarrow VP(1) > VT(1)
Do đó trên (0;+\infty) PTVN
TH 2: x < 0
Do [TEX]( \sqrt{x^2+1}-x)( \sqrt{x^2+1}+x)=1[/TEX]
[TEX]PT(1) \Leftrightarrow 1=2012^x( \sqrt{x^2+1}-x) \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}-x= \frac{1}{2012^x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}-x=2012^{-x}(2)[/TEX]
Đặt t=-x > 0. [TEX]PT (2) \Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}+t=2012^t (VN)( theo-TH 1)[/TEX]
Do đó PT (1) VN trên (-\infty;0)
Tại x=0 thấy là nghiệm của PT
Vậy PT có nghiệm duy nhất x=0
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn