Ta có
$x + y = \sqrt {x - 1} + \sqrt 2 \sqrt {y + 1} $
$ \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 \sqrt {y + 1} } \right)^2} \le 3\left( {x + y} \right)$ (Bunhia-copxki)
Đặt $x+y=t$ $\Rightarrow {t^2} - 3t \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3$
$\begin{array}{l}
P = {x^2} + {y^2} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 8\sqrt {4 - x - y} \\
= {x^2} + {y^2} + 2xy + 2\left( {x + y} \right) + 2 + 8\sqrt {4 - x - y} \\
= {\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {4 - x - y} + 2\\
= {t^2} + 2t + 8\sqrt {4 - t} + 2
\end{array}$
Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} + 2t + 8\sqrt {4 - t} + 2{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 3} \right)$
Tới đây thì bấm máy

có ngay Min = 18, max = 25. Tổng bằng 43 nhé e