Toán 12 [toán 12]Tìm GTNN của biểu thức

[iclinguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b , c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


[laTEX]S= \frac{a^3+ b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3+ c^3}{b^2 + bc+ c^2} + \frac{c^3+ a^3}{c^2 +ca +a^2}[/laTEX]

 

[longbien97]

em moi hoc lop 10 thui co gi sai sot m.n thong cam nhe

Cho a, b , c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


[laTEX]S= \frac{a^3+ b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3+ c^3}{b^2 + bc+ c^2} + \frac{c^3+ a^3}{c^2 +ca +a^2}[/laTEX]

Ta co
[TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{1}{3}[/TEX]
BDT hien nhien
\Rightarrow[TEX]\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{a+b}{3}[/TEX]
tuong tu ta co
[TEX]\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}\geq\frac{b+c}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{c^3+a^3}{a^2+ac+c^2}\geq\frac{a+c}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\geq\frac{2(a+b+c)}{3}[/TEX]
[TEX]P\geq\frac{2.3\sqrt[3]{abc}}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\geq2[/TEX]
[TEX]P=2\Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]