Toán 12-Tiếp tuyến hàm bậc 3.

[tuansaker.no1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mình có 2 dạng bài này mong các bạn chỉ giáo xem làm như thế nào :

10/ cho đồ thị (C) y=f(x)= [TEX]X^3 -3 X^2 +1[/TEX]. Chứng minh rằng :
trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng quy tại một điểm cố định ?

15/ Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=f(x) = [TEX]X^3 - 3X -2[/TEX] .
Các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại A1, B1, C1.
CMR A1, B1, C1 thẳng hàng..

THANKS !!!

 

[vuthanhcbok]

câu 10 mình nghĩ là cm hàm số lẻ đối xứng qua điểm uốn

 

[kachia_17]

15/ Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) [tex]y=f(x) = x^3 - 3x -2[/tex] .
Các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại [tex]A_1, B_1, C_1[/tex]
CMR :[tex]A_1, B_1, C_1[/tex] thẳng hàng..

Giải:

Bổ đề : Điều kiện cần và đủ để A, B ,C thuộc (C) thẳng hàng là:

[TEX]\huge \blue x_A+x_B+x_C=0[/TEX]

Chứng minh:

* Thuận:

A,B,C thẳng hàng.Giả sử phương trình đường thẳng qua 3 điểm là :[TEX] \huge \blue y=\alpha x+\beta[/TEX]

Suy ra: hoành độ của A,B,C là nghiệm của phương trình:

[TEX]\huge \blue x^3-3x-2=\alpha x+\beta \\ \ \\ \Leftrightarrow x^3-(3-\alpha)x-2-\beta=0[/TEX]
Áp dụng Viet có:

[TEX]\huge \blue x_A+x_B+x_C=0[/TEX]

*Đảo:

Lấy ba điểm A,B,C thuộc (C) và [TEX]\huge \blue x_A+x_B+x_C =0[/TEX]

Gọi phương trình (AC) là :[TEX] \huge \blue y=kx+m \ \ \ (\Delta)[/TEX]

Gọi giao điểm thứ 3 của [tex]\huge \blue \Delta [/tex] và (C) là B'.

Phương trình hoành độ giao điểm:

[TEX]\huge \blue x^3-3x-2=kx+m \Leftrightarrow x^2-(3+k)x-2-m=0[/TEX]

Theo Viet có: [TEX]\huge \blue x_A+x_{B'}+x_C=0[/TEX]

Suy ra : [TEX]\huge \blue B\equiv B' \Rightarrow A,B,C[/TEX] thẳng hàng.

Vậy bổ đề đã được chứng minh.

Áp dụng:

Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y=kx+b

Phương trình hoành độ giao điểm:

[TEX]\huge \blue x^3-3x-2=kx+b \Leftrightarrow x^3-(3+k)x-2-b=0[/TEX]

Gọi giao điểm thứ 2 của tiếp tuyến với (C) là A'.

Áp dụng Viet có:

[TEX]\huge \blue x_A+x_A+x_{A'}=0 \\ \ \\ \Leftrightarrow x_{A'}=-2x_A[/TEX]

Tương tự có : [TEX]\huge \blue x_{B'}=-2x_B ; x_{C'}=-2x_C[/TEX]

Suy ra: [TEX]\huge \blue x_{A'}+x_{B'}+x_{C'}=-2(x_A+x_B+x_C)[/TEX]

Theo bổ đề có : A',B',C' cũng thẳng hàng.

 

[huzin]

Tương tự vậy mà với hàm y=-X^3+3X^2-4 thì khác gì không nhỉ?