D
ductri_vn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đối tượng: Ôn thi đại học
Mục đích: Topic này lập ra với mong muốn sẽ giúp các bạn giải được tất cả các tích phân hàm hữu tỷ
Nội dung:
Đề bài: Tính tích phân dạng [tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex]
Trong đó P(x) là đa thức theo x, bậc n
Q(x) là đa thức theo x, bậc m
TH1: n>=m
Chia đa thức P(x) cho Q(x)được thương và số dư R(x) có bậc nhỏ hơn m, giải tích phân [tex]\frac{R(x)}{Q(x)}[/tex] theo TH2.
TH2: n<m
B1: Phân tích Q(x) về dạng: [tex]Q(x) = (a_1x+b_1)^A(a_2x+b_2)^B...(c_1x^2+d_1x+e_1)^C(c_2x^2+d_2x+e_2)^D...[/tex]
Tất nhiên các đa thức [tex]c_1x^2+d_1x+e_1,c_2x^2+d_2x+e_2[/tex] không có nghiệm
B2: Đồng nhất thức [tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex] về các số hạng hữu tỷ (dạng phân số) với các mẫu số lấy từ các thừa sô phân tích được của Q(x) ở trên, theo quy tắc:
Bậc của tử luôn nhỏ hơn bậc của mẫu.
Số mũ của mẫu số bằng bao nhiêu thì khi phân tích ta có bấy nhiêu phân số, theo thứ tự bậc tử số tăng dần, từ 0 đến bậc của mẫu - 1.
Bài tập ví dụ:
Vd1. [tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} [/tex]
B1: [tex]Q(x) = x^3-5x^2+6x[/tex]=[tex]x(x-2)(x-3)[/tex]
B2: Với mỗi thừa số của mẫu sẽ tương ứng với 1 phân số được tách ra, mà các thừa số này đều là bậc 1 nên bậc của mỗi tử số là bậc 0, tức là hằng số
Ta có [tex]\frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} = \frac{a}{x} +\frac{b}{x-2} + \frac{c}{x-3}[/tex]
Tới đây quy đồng lên và đồng nhất thức ta được a=-0.5 b=-0.5 và c=1
Tới đây việc tính tích phân chỉ cần dùng công thức.
Lưu ý: Ngoài việc phải đồng nhất thức bằng cách quy đồng, cho vào các giá trị đặc biệt thì các bạn có thể làm nhanh như sau:
Để tìm a, cho x= 0 thay vào biểu thức [tex]\frac{2x-3}{(x-2)(x-3)}[/tex]
Để tìm b, cho x=2 thay vào biểu thức [tex] \frac{2x-3}{x(x-3)}[/tex]
Để tìm c, cho x=3 thay vào biểu thức [tex] \frac{2x-3}{x(x-2)}[/tex]
Vd2. [tex]\int\limits_{a}^{b}\frac{x^3+x-1}{x^2+5x-4}dx[/tex]
Ta có [tex]\frac{x^3+x-1}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{(x+1)(x+4)}[/tex]
Việc tách biểu thức hữu tỷ sau ra giống như ví dụ 1
[tex]\frac{22x+19}{(x+1)(x+4)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}[/tex]
Tới đây các bạn tự giải tiếp
Vd3. [tex]\int\limits_{a}^{b}\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}dx[/tex]
Mẫu số gồm 2 thừa số [tex](x-1)[/tex] và [tex](x^2+2x+5)[/tex] nên ta sẽ tách ra thành 2 phân số với 2 mẫu số như trên.
Với [tex](x-1)[/tex], có bậc là 1, bậc tử nhỏ hơn nên tử phải là hằng số; nhưng vì có số mũ là 2 nên việc tách ra lại gồm 2 phân số, cụ thể là [tex]\frac{a}{x-1}[/tex] + [tex]\frac{b}{(x-1)^2}[/tex]
Với [tex](x^2+2x+5)[/tex] có bậc là 2 nên bậc tử là 1, ứng với phân số [tex]\frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex]
Vậy [tex]\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}= \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex]
Đồng nhất thức, theo cách trên, riêng với mẫu số vô nghiệm thì có thể cho nghiệm là số phức rồi đồng nhất theo số thực, ảo. Còn nếu không cứ đồng nhất thức theo cách thường.
Việc xử lý tích phân[tex]\frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex] chắc nhiều bạn biết rồi, nhưng mình xin nói thêm cho chắc. Tách tích phân ra làm 2 [tex]\frac{P(x)}{x^2+2x+5} + \frac{Q(x)}{x^2+2x+5}[/tex]
Trong đó P(x) là đạo hàm của mẫu, còn Q(x) là số dư, trong TH này là hàm hằng số. Tới đây chắc ai cũng làm được
(Tổng hợp)
Mục đích: Topic này lập ra với mong muốn sẽ giúp các bạn giải được tất cả các tích phân hàm hữu tỷ
Nội dung:
Đề bài: Tính tích phân dạng [tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex]
Trong đó P(x) là đa thức theo x, bậc n
Q(x) là đa thức theo x, bậc m
TH1: n>=m
Chia đa thức P(x) cho Q(x)được thương và số dư R(x) có bậc nhỏ hơn m, giải tích phân [tex]\frac{R(x)}{Q(x)}[/tex] theo TH2.
TH2: n<m
B1: Phân tích Q(x) về dạng: [tex]Q(x) = (a_1x+b_1)^A(a_2x+b_2)^B...(c_1x^2+d_1x+e_1)^C(c_2x^2+d_2x+e_2)^D...[/tex]
Tất nhiên các đa thức [tex]c_1x^2+d_1x+e_1,c_2x^2+d_2x+e_2[/tex] không có nghiệm
B2: Đồng nhất thức [tex]\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex] về các số hạng hữu tỷ (dạng phân số) với các mẫu số lấy từ các thừa sô phân tích được của Q(x) ở trên, theo quy tắc:
Bậc của tử luôn nhỏ hơn bậc của mẫu.
Số mũ của mẫu số bằng bao nhiêu thì khi phân tích ta có bấy nhiêu phân số, theo thứ tự bậc tử số tăng dần, từ 0 đến bậc của mẫu - 1.
Bài tập ví dụ:
Vd1. [tex]\int\limits_{a}^{b} \frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} [/tex]
B1: [tex]Q(x) = x^3-5x^2+6x[/tex]=[tex]x(x-2)(x-3)[/tex]
B2: Với mỗi thừa số của mẫu sẽ tương ứng với 1 phân số được tách ra, mà các thừa số này đều là bậc 1 nên bậc của mỗi tử số là bậc 0, tức là hằng số
Ta có [tex]\frac{2x-3}{x^3-5x^2+6x} = \frac{a}{x} +\frac{b}{x-2} + \frac{c}{x-3}[/tex]
Tới đây quy đồng lên và đồng nhất thức ta được a=-0.5 b=-0.5 và c=1
Tới đây việc tính tích phân chỉ cần dùng công thức.
Lưu ý: Ngoài việc phải đồng nhất thức bằng cách quy đồng, cho vào các giá trị đặc biệt thì các bạn có thể làm nhanh như sau:
Để tìm a, cho x= 0 thay vào biểu thức [tex]\frac{2x-3}{(x-2)(x-3)}[/tex]
Để tìm b, cho x=2 thay vào biểu thức [tex] \frac{2x-3}{x(x-3)}[/tex]
Để tìm c, cho x=3 thay vào biểu thức [tex] \frac{2x-3}{x(x-2)}[/tex]
Vd2. [tex]\int\limits_{a}^{b}\frac{x^3+x-1}{x^2+5x-4}dx[/tex]
Ta có [tex]\frac{x^3+x-1}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{x^2+5x+4} = x - 5 + \frac{22x+19}{(x+1)(x+4)}[/tex]
Việc tách biểu thức hữu tỷ sau ra giống như ví dụ 1
[tex]\frac{22x+19}{(x+1)(x+4)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4}[/tex]
Tới đây các bạn tự giải tiếp
Vd3. [tex]\int\limits_{a}^{b}\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}dx[/tex]
Mẫu số gồm 2 thừa số [tex](x-1)[/tex] và [tex](x^2+2x+5)[/tex] nên ta sẽ tách ra thành 2 phân số với 2 mẫu số như trên.
Với [tex](x-1)[/tex], có bậc là 1, bậc tử nhỏ hơn nên tử phải là hằng số; nhưng vì có số mũ là 2 nên việc tách ra lại gồm 2 phân số, cụ thể là [tex]\frac{a}{x-1}[/tex] + [tex]\frac{b}{(x-1)^2}[/tex]
Với [tex](x^2+2x+5)[/tex] có bậc là 2 nên bậc tử là 1, ứng với phân số [tex]\frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex]
Vậy [tex]\frac{2x-3}{(x-1)^2(x^2+2x+5}= \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex]
Đồng nhất thức, theo cách trên, riêng với mẫu số vô nghiệm thì có thể cho nghiệm là số phức rồi đồng nhất theo số thực, ảo. Còn nếu không cứ đồng nhất thức theo cách thường.
Việc xử lý tích phân[tex]\frac{cx+d}{x^2+2x+5}[/tex] chắc nhiều bạn biết rồi, nhưng mình xin nói thêm cho chắc. Tách tích phân ra làm 2 [tex]\frac{P(x)}{x^2+2x+5} + \frac{Q(x)}{x^2+2x+5}[/tex]
Trong đó P(x) là đạo hàm của mẫu, còn Q(x) là số dư, trong TH này là hàm hằng số. Tới đây chắc ai cũng làm được
(Tổng hợp)
Last edited by a moderator: