[Toán 12] Tích phân Lượng giác

[manhtuan99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[acsimet_91]

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2sin^2x+1}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2-cos2x}dx[/TEX]

Đặt [TEX]t=tanx \Rightarrow cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}; dx=\frac{dt}{t^2+1}[/TEX]

Thay vào kia, đổi cận ra biểu thức hữu tỉ là ok

 

[hoangkimstory]

giúp giùm con tick phân nay`: dx/sin^4(x)
làm nhanh hộ cái. cám ơn nhiều

 

[phongebank]

\int_{}^{}dx/sin^4(x) = -\int_{}^{}(1+cotx^2)d(cotx)=-[cotx+cotx^3:3]+c
co j si sot thong cam jum

 

[lunglinh999]

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2sin^2x+1}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2-cos2x}dx[/TEX]

Đặt [TEX]t=tanx \Rightarrow cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}; dx=\frac{dt}{t^2+1}[/TEX]

Thay vào kia, đổi cận ra biểu thức hữu tỉ là ok

bài này đặt vậy ổn không bạn [TEX] tan \frac{\pi}{2}= ? [/TEX]
mình nghĩ bài này làm như vầy :
[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2sin^2x+1}dx = \int_{0}^{arctan (2) }\frac{dx}{3-2cos^2x} + \int_{arctan (2)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2sin^2x+1}=\int_{0}^{arctan (2) }\frac{\frac{dx}{cos^2x}}{\frac{3}{cos^2x}-2} + \int_{arctan (2)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{dx}{sin^2x}}{2+\frac{1}{sin^2x}} = \int_{0}^{arctan (2) }\frac{\frac{dx}{cos^2x}}{3(tan^2x+1)-2} + \int_{arctan (2)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{dx}{sin^2x}}{2+cot^2x +1 } = I_1 + I_2 [/tex]
[tEX]I_1[/TEX] đặt [TEX] u = tan x [/TEX]
[TEX]I_2[/TEX] đặt [TEX] v = cot x [/TEX]
sau đó đổi cận thay vào là ra phân thức hữu tỉ ngay : finish

 

[vivietnam]

bài này đặt vậy ổn không bạn [TEX] tan \frac{\pi}{2}= ? [/TEX]
mình nghĩ bài này làm như vầy :
[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2sin^2x+1}dx = \int_{0}^{arctan (2) }\frac{dx}{3-2cos^2x} + \int_{arctan (2)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2sin^2x+1}=\int_{0}^{arctan (2) }\frac{\frac{dx}{cos^2x}}{\frac{3}{cos^2x}-2} + \int_{arctan (2)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{dx}{sin^2x}}{2+\frac{1}{sin^2x}} = \int_{0}^{arctan (2) }\frac{\frac{dx}{cos^2x}}{3(tan^2x+1)-2} + \int_{arctan (2)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{dx}{sin^2x}}{2+cot^2x +1 } = I_1 + I_2 [/TEX]
[tEX]I_1[/tEX] đặt [TEX] u = tan x [/TEX]
[TEX]I_2[/TEX] đặt [TEX] v = cot x [/TEX]
sau đó đổi cận thay vào là ra phân thức hữu tỉ ngay : finish

đã biến đổi là tách vậy tại sao ko tách cho cận đẹp hơn
VD [TEX]\frac{\pi}{4}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Sao không nhắm mắt coi nó là [TEX]t[/TEX] để biến đổi đồng nhất thức

[TEX]\frac{1}{3-2t^2}:=.............[/TEX]

 

[tlquyen87]

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2sin^2x+1}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2-cos2x}dx[/TEX]

Đặt [TEX]t=tanx \Rightarrow cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}; dx=\frac{dt}{t^2+1}[/TEX]

Thay vào kia, đổi cận ra biểu thức hữu tỉ là ok

Cũng có thể làm thế này, tách cận

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx[/TEX]

Với [TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{3sin^2x+cos^2x}dx = \int{\frac{\frac{1}{\cos^2x}}{\frac{3sin^2x+cos^2x}{\cos^2x}}dx = \int{\frac{d(\tan x)}{3\tan^2x+1}}dx[/TEX],
Tương tụ cho [TEX]I_2[/TEX] (chia cho [TEX]\sin^2x[/TEX])

 

[tuan252513250]

Giúp mình với

mình là học sinh yếu giúp mình 2 bài toán nha
tích phân chạy từ 0 đến pi/2 của sin2xcos/1+cosx
tích phân chạy từ pi/3 đến pi/2 của cosx/(1-sinx)bình
Thông cảm vì mình ko biết sử dụng dấu

 

[cuhanhtim_1997]

mình bí roài

[tex]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x(1 - \cos x)}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} [/tex]
[tex] = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} [/tex]
[tex] = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\cot xdx} - 2\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^2}x\cot xdx} [/tex]
[tex]{I_1} = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\cot xdx} [/tex]
[tex]u = \cot x \Rightarrow du = \frac{{ - dx}}{{{{\sin }^2}x}}[/tex]
[tex]dv = \cos x \Rightarrow v = \sin xdx[/tex]

 

[cuhanhtim_1997]

cũng bài trên mình làm ra phức tạp hơn ban đầu nữa, bí roài

[tex]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x}}{{1 + \cos x}}dx} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {( - {{\cos }^2}x)(\frac{{ - \sin x}}{{1 + \cos x}})dx} [/tex]
[tex]u = - {\cos ^2}x \Rightarrow du = 2\cos x\sin xdx[/tex]
[tex]dv = \frac{{ - \sin x}}{{1 + \cos x}} \Rightarrow v = \ln (1 + \cos x)[/tex]
[tex]\frac{I}{2} = - {\cos ^2}x\ln (1 + \cos x) + 2\int {\ln (1 + \cos x)\cos x\sin xdx} [/tex]
[tex]J = \int {\ln (1 + \cos x)\cos x\sin xdx} [/tex]

 

[vivietnam]

[tex]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x(1 - \cos x)}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} [/tex]
[tex] = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} [/tex]
[tex] = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\cot xdx} - 2\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^2}x\cot xdx} [/tex]
[tex]{I_1} = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\cot xdx} [/tex]
[tex]u = \cot x \Rightarrow du = \frac{{ - dx}}{{{{\sin }^2}x}}[/tex]
[tex]dv = \cos x \Rightarrow v = \sin xdx[/tex]

$cosx-1=0$ khi $x=0$ nên ko nhân cả tử và mẫu cho $cosx-1$ được
${I_1} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}} {\cos x\cot xdx}$
cái này lên đại học mới học

 

[vivietnam]

[tex]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x\cos x}}{{1 + \cos x}}dx} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {( - {{\cos }^2}x)(\frac{{ - \sin x}}{{1 + \cos x}})dx} [/tex]
[tex]u = - {\cos ^2}x \Rightarrow du = 2\cos x\sin xdx[/tex]
[tex]dv = \frac{{ - \sin x}}{{1 + \cos x}} \Rightarrow v = \ln (1 + \cos x)[/tex]
[tex]\frac{I}{2} = - {\cos ^2}x\ln (1 + \cos x) + 2\int {\ln (1 + \cos x)\cos x\sin xdx} [/tex]
[tex]J = \int {\ln (1 + \cos x)\cos x\sin xdx} [/tex]

chỉ dùng tích phân từng phần cho dễ dàng hơn,đưa về ln thế này ko làm được
$I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{2sinxcos^2xdx}{1+cosx}$
đặt $cosx=t \Longrightarrow -sinxdx=dt$
$I=\int_0^1 \dfrac{2t^2dt}{t+1}=\int_0^1 (2t-2+\dfrac{2}{t+1})dt=....$
tới đây dễ rồi