[Toán 12] Thể Tích

[hoan1793]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

(chuyên Lí Tự Trọng - 2012)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là 1 tam giác vuông tại B góc BAC =60 độ

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC = a và khoảng cách giữa 2 đường thẳng

A'B và AC = $\frac{a(3+\sqrt{3})}{4}$ . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

 

[jet_nguyen]

Hướng giải:
​

Gọi $AC=2x \,\ (x>0) \Longrightarrow AB=x; \ BC=x\sqrt{3}$
Ta có $S_{\Delta {ABC}}=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{2}; p_{\Delta{ABC}}=\dfrac{(3+\sqrt{3})x}{2} \ $.
Ta có: $ \ r=\dfrac{S}{p}\Longrightarrow a=\dfrac{x\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\Longrightarrow x=(1+\sqrt{3})a$
Dựng hình bình hành $ACBD \Longrightarrow AC//(A'BD) \Longrightarrow d_{AC,A'B}=d_{AC,(A'BD)}=d_{A,(A'BD)}$
Kẻ $AM\bot BD$ , $\ AH\bot A'M\Longrightarrow$ $AH\bot (A'BD)$ $\Longrightarrow d_{A,(A'BD)}=AH$
Dễ thấy: $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AA'^2}+\dfrac{1}{AM^2}$$$$ \dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}. $$$$ \Longrightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AA'^2}+\dfrac{1}{AB^2}+ \dfrac{1}{AD^2}. $$ Vậy: $$\dfrac{1}{AA'^2}=\dfrac{1}{AH^2}-\dfrac{1}{AB^2}-\dfrac{1}{AD^2}$$$$ \Longrightarrow AA'=\dfrac{a}{\sqrt{3}-1}. $$
Suy ra thể tích lăng trụ: $V=\dfrac{AA'. AB.BC}{2}=\dfrac{9+5\sqrt{3}}{2}a^3$