H
huutho2408
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Tích phân là một phần hay nhưng cũng là một phần khó
Sau đây phân tích sự khác nhau rất thú vị
Giúp chúng ta hiểu rõ bản chất của tích phân xác định
Bài tập ví dụ:tính tích phân:$\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$và$\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$
tích phân thứ nhất:
$$\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$$
$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$
Chia 2 vế cho $x^2$
$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}-1}dx$$
$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-3}dx$$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t$
$$I=\int\limits_{2}^{\frac52}\dfrac{dt}{t^2-3}dx$$
cái này là tích phân cơ bản
Nhưng nếu bạn thay đổi cận thì có thể sẽ không giải được cách này
Vì vậy chỉ còn cách dùng hệ số bất định (là 1 pp mạnh)
$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$$
$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$
trước tiên ta phân tích:
$I=\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}=\dfrac{x^2-1}{(x^2-\sqrt{3}.x+1)(x^2+\sqrt{3}.x+1)}$
$=\dfrac{Ax+B}{x^2-\sqrt{3}.x+1}+\dfrac{Dx+C}{x^2-\sqrt{3}.x+1}$
Đồng nhất hệ số ta có:
$A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$và $A=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}$và $C=\dfrac{-1}{2}$và $D=\dfrac{-1}{2}$
$$I=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}.x+1}dx-\dfrac{\sqrt{3}}{6}.\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}.x+1}dx$$
$$I=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.ln(7-4\sqrt{3})$$
Như vậy tưởng 2 bài toán gần giống nhau nhưng đi theo 2 chiều hướng khác nhau
Sau đây phân tích sự khác nhau rất thú vị
Giúp chúng ta hiểu rõ bản chất của tích phân xác định
Bài tập ví dụ:tính tích phân:$\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$và$\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$
tích phân thứ nhất:
$$\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$$
$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$
Chia 2 vế cho $x^2$
$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}-1}dx$$
$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-3}dx$$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t$
$$I=\int\limits_{2}^{\frac52}\dfrac{dt}{t^2-3}dx$$
cái này là tích phân cơ bản
Nhưng nếu bạn thay đổi cận thì có thể sẽ không giải được cách này
Vì vậy chỉ còn cách dùng hệ số bất định (là 1 pp mạnh)
$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^4-1}{x^6+1}dx$$
$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}dx$$
trước tiên ta phân tích:
$I=\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}=\dfrac{x^2-1}{(x^2-\sqrt{3}.x+1)(x^2+\sqrt{3}.x+1)}$
$=\dfrac{Ax+B}{x^2-\sqrt{3}.x+1}+\dfrac{Dx+C}{x^2-\sqrt{3}.x+1}$
Đồng nhất hệ số ta có:
$A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$và $A=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}$và $C=\dfrac{-1}{2}$và $D=\dfrac{-1}{2}$
$$I=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}.x+1}dx-\dfrac{\sqrt{3}}{6}.\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}.x+1}dx$$
$$I=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.ln(7-4\sqrt{3})$$
Như vậy tưởng 2 bài toán gần giống nhau nhưng đi theo 2 chiều hướng khác nhau
Last edited by a moderator: