[Toán 12] Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức???

[301092]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x+y=1. CMR: $x^4 + y^4 \geq \dfrac{1}{8}$. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
2. Với mọi x dương, CMR: $1 - \dfrac{x^3}{2} < cosx.$

 

[duongvituan]

1) giả sử [TEX] x \leq y[/TEX] Nếu x < 0 => y>1 => bdt luôn đúng.
Xét x,y>0 => [TEX]x \in [0,1/2][/TEX]
Bdt tương đương [TEX]f(x)=x^4 + (1-x)^4 >=1/8[/TEX]
[TEX]f'(x)= 4x^3 - 4(1-x)^3 = 4(2x-1)(x^2 -x +1)[/TEX]
f'(x)=0 <=> x=1/2
BBT ............. => f(x)min=f(1/2) =1/8 => ......
dấu bằng xảy ra khi x=y=1/2 .