[Toán 12]-Nguyên hàm

[chinhnhung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm hộ mình mấy nguyên hàm
1 [TEX]\int_{}^{}\sqrt[]{\frac{1+x}{3-x}}dx[/TEX]
2 [TEX]\int_{}^{}\frac{dx}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}[/TEX]
3 [TEX]\int_{}^{}\frac{x^4 - 3}{x(x^8+3x^2+2)}dx[/TEX]

---------------------------
Chú ý cách đặt tên cho bài viết của mình em nhé!

Tham khảo cách đặt tên tại đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=26801

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài 1

Đặt [TEX]x=2cos2t+1, t \in [0,\frac{\pi}{2}][/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX]

[TEX] *1+x=2(cos2t+1)=4cos^2t[/TEX]

[TEX]*3-x=2(1-cos2t)=4sin^2t[/TEX]

[TEX]*dx=sin2t .dt[/TEX]

Vậy

[TEX]I=\int \frac{cos t}{sin t}.sin 2t.dt[/TEX]

[TEX]=\int 2cos^2t.dt[/TEX]

[TEX]=\int (cos2t+1)dt[/TEX]

[TEX]=\frac{sin2t}{2}+t[/TEX]

*)Nhận xét

Đối với dạng bài tính nguyên hàm

[TEX]I=\int_{}^{} \sqrt{ \frac{a+x}{b-x}}[/TEX]

ta có cách giải

đặt [TEX]x=\frac{b+a}{2}cos 2t+\frac{b-a}{2}[/TEX]

...

 

[thong1990nd]

bài2) [TEX]\int_{}^{}\frac{dx}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}[/TEX]
Giải:
có [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}=\frac{A}{(x+1)(x+3)^3}+\frac{B}{(x+2)^2(x+3)^2}+\frac{C}{(x+1)(x+2)^2(x+3)}[/TEX]
đồng nhất biểu thức ta đc A=1,B=-1,C=0
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}=\frac{1}{(x+1)(x+3)^3}-\frac{1}{(x+2)^2(x+3)^2}[/TEX]sau đó P.tích [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+3)^3}=\frac{1}{4(x+1)(x+3)}-\frac{1}{4(x+3)^2}-\frac{1}{2(x+3)^3}[/TEX]
và [TEX]\frac{1}{(x+2)^2(x+3)^2}=\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{2}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)^2} [/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}=\frac{1}{4(x+1)(x+3)}-\frac{1}{4(x+3)^2}-\frac{1}{2(x+2)^3}-\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{2}{(x+2)(x+3)}-\frac{1}{(x+3)^2}[/TEX]
đến đây là loại tích phân cơ bản bạn có thể tự làm

 

[thong1990nd]

có phải mấy bài trên bạn lấy trên phần bài tập tự giải của lê hồng đức đúng ko ,hình như bài 3 là do ông ấy viết sai đầu bài rồi ở mẫu phải là [TEX](x^8+3x^4+2)x[/TEX] mới làm đc chứ ,nếu như vậy thì đặt [TEX]t=x^2[/TEX] sẽ ra TP \int_{}^{}[TEX]\frac{t^2-3}{t(t^4+3t^2+2}dt[/TEX] sau đó phân tích sẽ ra

 

[thong1990nd]

mình xin đóng góp 3 bài
1) \int_{}^{}[TEX]\frac{x^2-1}{x^4+2x^3-x^2+2x+1}dx[/TEX]
2) \int_{}^{}[TEX]\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}dx[/TEX]
3) \int_{}^{}[TEX]\frac{x^3-1}{x(x^3-4)(x^4-4x+1)}dx[/TEX]

 

[chinhnhung]

mình xin đóng góp 3 bài
1) \int_{}^{}[TEX]\frac{x^2-1}{x^4+2x^3-x^2+2x+1}dx[/TEX]
2) \int_{}^{}[TEX]\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}dx[/TEX]
3) \int_{}^{}[TEX]\frac{x^3-1}{x(x^3-4)(x^4-4x+1)}dx[/TEX]

mình chỉ nêu hướng thôi nha
1 chia cả tử và mẫu cho [TEX]x^2[/TEX]
2 đặt [TEX]t = x^2 + x + 1[/TEX]
3 đặt [TEX]t = x^4 - 4x[/TEX]

 

[chinhnhung]

có phải mấy bài trên bạn lấy trên phần bài tập tự giải của lê hồng đức đúng ko ,hình như bài 3 là do ông ấy viết sai đầu bài rồi ở mẫu phải là [TEX](x^8+3x^4+2)x[/TEX] mới làm đc chứ ,nếu như vậy thì đặt [TEX]t=x^2[/TEX] sẽ ra TP \int_{}^{}[TEX]\frac{t^2-3}{t(t^4+3t^2+2}dt[/TEX] sau đó phân tích sẽ ra

đúng là mình lấy từ sách đó
giải bài này xem (cũng ở sách đó)
[TEX]\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}[/TEX]

 

[xenos]

3 bài của bạn thong1990 đều có chung 1 cách giải đó là hệ số bất định nhưng rất lâu , đồng nhất thức là phương pháp nhanh nhất cho dạng bài này

bài này nếu chú ý kĩ, thì nó chính là dạng " tích phân của vi phân nhị thức "


tức là đề sẽ tương đương với: [TEX]({1 + x^n })^{\frac{-(1 + n)}{n}}[/TEX]

nhận thấy:
[TEX]\frac{0 +1}{n}[/TEX] - [TEX]{\frac{-(1 + n)}{n}}[/TEX] = 1
==> đặt [TEX]\frac{1}{x^n}[/TEX] + [TEX]1[/TEX]= [TEX]t[/TEX]
lấy vi phân, đổi cận
=>

= [TEX]\int_{0}^{1}\frac{dt}{t}[/TEX]

quá dễ rùi đó, tự xử nhé

 

[thong1990nd]

bài 2 bạn có thể làm theo cách khác ko cũng dùng theo hướng đó nhưng chỉ thay đổi 1 chút thôi

 

[kachia_17]

đúng là mình lấy từ sách đó
giải bài này xem (cũng ở sách đó)
[TEX]\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}[/TEX]

[tex]\red \reverse\opaque I= \int_{0}^{1}\frac{1+x^n-x^n}{(1+x^n) \ \sqrt[n]{1+n^n}} \ dx \\ \ \\ \Leftrightarrow I= \int_{0}^{1}\frac {1-(1+x^n)^{-1} \ x^n}{(1+x^n)^{\frac 1n}} \ dx \\ \ \\ \Leftrightarrow I= \int_{0}^{1}\frac {(1+x^n)^{\frac 1n} \ [1-(1+x^n)^{-1} \ x^n]}{[(1+x^n)^{\frac 1n}]^2 }\ dx \\ \ \\ \Leftrightarrow I= \int_{0}^{1}\frac {(1+x^n)^{\frac 1n} \ [x' - x . \ \frac 1n . \ (1+x^n)^{-1} (x^n)']}{[(1+x^n)^{\frac 1n}]^2} \ dx \\ \ \\ \Leftrightarrow I= \int_{0}^{1}\frac {x' .\ (1+x^n)^{\frac 1n} - x.\ \frac 1n .\ (1+x^n)^{\frac 1n -1} \ (x^n)^{'}}{[(1+x^n)^{\frac 1n}]^2} \ dx \\ \ \\ \Leftrightarrow I= \int_{0}^{1}\frac {x' .\ (1+x^n)^{\frac 1n}- x. \ [(1+x^n)^{\frac 1n}]'}{[(1+x^n)^{\frac 1n}]^2} \ dx \\ \ \\ \Leftrightarrow I= \int_{0}^{1} {d\left( {\frac{x}{{\left( {1 + x^n } \right)^{\frac{1}{n}} }}} \right) } \\ \ \\ \Leftrightarrow I =\frac{1}{\sqrt[n]{2}} \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ 1/I= \int\frac{x^2-1}{x^4+2x^3-x^2+2x+1}dx \\ \Leftrightarrow I=\int\frac{1-\frac 1{x^2}}{x^2+2x-1+\frac 2x +\frac 1{x^2}} \ dx \\ \Leftrightarrow I=\int\frac {d(x+\frac 1x)}{(x+\frac 1x)^2+2(x+\frac 1x )-3} \ dx \\ \Leftrightarrow I=\int\frac {dt}{t^2+2t-3} \ \ ;\ \tex{with } \ t=x+\frac 1x \\ \\ \Leftrightarrow I=\frac 14\int\frac{t+3-(t-1)}{(t+3)(t-1)} \ dt \\ \Leftrightarrow I=\frac 14 (\int\frac {dt}{t-1} -\int\frac{dt}{t+3}) \\ \Leftrightarrow I=\frac 14 \ ln(\frac{t-1}{t+3}) +C \\ \Leftrightarrow I=\frac 14 \ ln(\frac{x^2-x+1}{x^2+3x+1})+C \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\\ 2/P= \int\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}dx \\ \Leftrightarrow I=\int\frac{d(x^2+x)}{(x^2+x)^2+2(x^2+x)-3} \\ \Leftrightarrow I=\int\frac {dt}{t^2+2t-3} \ \ ;\ \tex{with } \ t=x^2+x \\ \\ \Leftrightarrow I=\frac 14\int\frac{t+3-(t-1)}{(t+3)(t-1)} \ dt \\ \Leftrightarrow I=\frac 14 (\int\frac {dt}{t-1} -\int\frac{dt}{t+3}) \\ \Leftrightarrow I=\frac 14 \ ln(\frac{t-1}{t+3}) +C \\ \Leftrightarrow I=\frac 14 \ ln(\frac{x^2+x-1}{x^2+x+3})+C \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\3/Q= \int\frac{x^3-1}{x(x^3-4)(x^4-4x+1)}dx \\ \Leftrightarrow Q=\frac 14\int\frac{d(x^4-4x)}{(x^4-4x)(x^4-4x_1)} \\ \Leftrightarrow Q=\frac 14\int\frac{dt}{t(t+1)} \ \ \ \ \tex{with} \ t=x^4-4x \\ \Leftrightarrow Q=\frac 14\int\frac{t+1-t}{t(t+1)} \ dt \\ \Leftrightarrow Q=\frac 14(\int\frac{dt}{t}-\int\frac{dt}{t+1})\\ \Leftrightarrow Q=\frac 14\int\ ln(\frac{t}{t+1}) +C \\ \Leftrightarrow Q=\frac 14 \ \ln(\frac{x^4-4x}{x^4-4x+1})+C [/TEX]