toán 12: min; max

[silvery21]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]Cho \left{\begin{x; y \in (0;1)}\\{x+y=1}.....................Min S= x^x + y^y =??? [/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX]Cho \left{\begin{x; y \in (0;1)}\\{x+y=1}.....................Min S= x^x + y^y =??? [/TEX]

từ x+y=1\Rightarrowy=1-x
ta có [TEX]S=e^{x.lnx}+e^{y.lny}=e^{x.lnx}+e^{(1-x).ln(1-x)}[/TEX]
ta có [TEX]S'=e^{x.lnx}(lnx+1)+e^{(1-x).ln(1-x)}.(-ln(1-x)-1)[/TEX]
S'=0 \Leftrightarrow[TEX]e^{x.lnx}(lnx+1)=e^{(1-x).ln(1-x)}(ln(1-x)+1)[/TEX]
xét hàm số [TEX]y=e^{x.lnx}(lnx+1)[/TEX]
có [TEX]y'=e^{x.lnx}(lnx+1)^2+\frac{e^{x.lnx}}{x} \geq0[/TEX]
\Rightarrowhàm số này đồng biến trên TXĐ \Rightarrowy(x)=y(1-x) \Leftrightarrowx=1-x\Leftrightarrowx=1/2
từ đây ta vẽ được bảng biến thiên
từ bảng biến thiên ta tìm được min [TEX]S=2.(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}[/TEX]