[Toán 12] Hình học không gian 12

[zombie95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình thang ABCD có góc A=B =90 độ, AD=2a. AB và BC =a. Gọi S là điểm nằm trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD). C' và D' lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SD.
1/ Chứng minh AD' và AC' , AB cùng nằm trong 1 mphẳng. Từ đó chứng minh rằng C'D' đi qua điểm cố định khi S di động trên Ax
2/ Cho $AS= a\sqrt{2}$. Tính diện tích ABC'D' giải nhanh giùm em có việc nha

 

[noinhobinhyen]

1/ Gọi I là trung điểm AD,
Từ gt ta có ngay: ABCI là hình vuông, ICD là tgiác vuông cân.
=> AC ┴ CD
mà SA ┴ CD (do Ax ┴ (ABCD))
=> CD ┴ (SAC)
=> CD ┴ AC'
mà SC ┴ AC'
=> AC' ┴ (SCD)
=> AC' ┴ SD
mặt khác: AD' ┴ SD
=> (AC'D') ┴ SD (1)
Ta lại có:
AB ┴ AD (gt)
AB ┴ SA
=> AB ┴ (SAD)
=> AB ┴ SD
mà AD' ┴ SD
=> (ABD') ┴ SD (2)
Từ (1) và (2) thấy (AC'D) và (ABD') cùng vuông góc với SD, lại có điểm A chung nên (AC'D) ≡ (ABD')
=> AD', AC', AB cùng nằm trong một mp, gọi đó là mp(P) cho gọn
*Thấy: (P), (ABCD),(SCD) là ba mp cắt nhau theo các giao tuyến AB, CD, C'D' nên chúng đồng qui tại K (không thể // vì AB cắt CD), có K cố định (vì AB,CD cố định)
=> C'D' luôn qua K cố định.
2/Các tính toán:
*tgiác ICD vuông cân, nên góc ADC = 45º
=> tgiác ADK vuông cân tại A
=> AK = AD = 2a.
*$SD = \sqrt[]{(AS²+AD²)} = a\sqrt[]{6}$
AD'.SD = AS.AD
=>$ AD' = a\sqrt[]{2}.2a /a\sqrt[]{6} = 2a /\sqrt[]{3}$
*$AC = AS = a\sqrt[]{2}$ (lại có AC' ┴ SC)
=> AC' = a
*Gọi E là trung điểm C'K, mà B là trung điểm AK nên theo tính chất đường trung bình ta có:
BE = AC'/2 = a/2
BE // AC', mà AC' ┴ với C'K (do AC' ┴ (SCD))
=> BE ┴ C'K
*C'K = $\sqrt[]{(AK²-C'A²)}$ = a√3
Vậy:
dt(ABC'D') = dt(AKD') - dt(BKC')
= AK.AD' / 2 - BE.C'K / 2 =
= $2a.(2a/\sqrt[]{3}) / 2 - (a/2)a\sqrt[]{3}/2$
= $5a².\sqrt[]{3}/12$ (đvdt)