[Toán 12] Hàm số mũ và lôgarit

[mimi_st]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/CMR: $log_{4}18$ là số vô tỉ

2/ Cho a,b,c>1.CMR:
$\frac{log_{b} a^{2}}{a+b}$ + $\frac{log_{c}b^{2}}{c+b}$ + $\frac{log_{a}c^{2}}{a+c}$ \geq $\frac{9}{a+b+c}$

 

[nghgh97]

Mình làm thử nhé
\[{\log _4}18 = {\log _4}\left( {2.9} \right) = {\log _4}2 + {\log _4}9 = \frac{{\ln 2}}{{\ln 4}} + \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}\]
\[ = \frac{{\ln 2 + \ln 3 + \ln 3}}{{\ln 2 + \ln 2}} = \frac{{\ln 2 + 2\ln 3}}{{2\ln 2}} = \frac{1}{{\ln 2}} + \frac{{\ln 3}}{{\ln 2}}\]
Mà ln2 và ln3 là các số vô tỉ (đã biết) $\Rightarrow {\log _4}18$ là số vô tỉ

 

[mimi_st]

Mình làm thử nhé
\[{\log _4}18 = {\log _4}\left( {2.9} \right) = {\log _4}2 + {\log _4}9 = \frac{{\ln 2}}{{\ln 4}} + \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}\]
\[ = \frac{{\ln 2 + \ln 3 + \ln 3}}{{\ln 2 + \ln 2}} = \frac{{\ln 2 + 2\ln 3}}{{2\ln 2}} = \frac{1}{{\ln 2}} + \frac{{\ln 3}}{{\ln 2}}\]
Mà ln2 và ln3 là các số vô tỉ (đã biết) $\Rightarrow {\log _4}18$ là số vô tỉ

cho mình hỏi bài 2 làm thế nào vậy ạ
Mong bạn giải giùm mình

 

[truongduong9083]

Câu 2. Gợi ý
Đặt $x = log_ba; y = log_cb; z = log_ac \Rightarrow x.y.z = 1$
Bất đẳng thức viết lại thành
$$(\dfrac{x}{a+b}+\dfrac{y}{b+c}+\dfrac{z}{c+a})[(a+b)+(b+c)+(c+a)] \geq 9$$
Điều này luôn đúng vì
$\bullet$ $\dfrac{x}{a+b}+\dfrac{y}{b+c}+\dfrac{z}{c+a} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{a+b}.\dfrac{y}{b+c}.\dfrac{z}{c+a}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$\bullet$ $(a+b)+(b+c)+(c+a) \geq 3\sqrt[3]{(a+b).(b+c).(c+a)}$