[Toán 12] Giải phương trình $(20+14\sqrt{2})^{x}+(20-14\sqrt{2})^{x}=64^{x}$

[namliquid]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giaỉ phương trình $$(20+14\sqrt{2})^{x}+(20-14\sqrt{2})^{x}=64^{x}$$
P/s: Đừng dùng màu chữ khác nếu không cần thiết nhé bạn.

 

[jet_nguyen]

Đặt $a^3=20+14\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^3 \ ,\ ; b^3=20-14\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^3 \Longrightarrow ab=2$
Vậy phương trình tương đương: $$a^{3x}+b^{3x}=8^x(ab)^{3x}$$$$ \Longleftrightarrow \left(\dfrac{1}{8a^3} \right)^x+\left(\dfrac{1}{8b^3} \right)^x=1 \ \ \ (1)$$ Nhận xét:
$\bullet$ Nếu $x >\dfrac{1}{3} $ thì $ VT(1) >1$
$\bullet$ Nếu $x < \dfrac{1}{3} $ thì $ VT (1) <1$
Mặt khác $x=\dfrac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình.
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{3}$