[Toán 12] Giải hệ phương trình logarit

[mimi_st]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
x^{3} + x + log_{2}\frac{x}{y} = 8y^{3} + 2y +1& & \\
y^{2} - xy + \frac{1}{4} = 0 & &
\end{matrix}\right.$

x,y>0

 

[nguyenbahiep1]

Từ hệ thứ nhất

[laTEX]x^3 + x + log_2x = (2y)^3 + 2y + log_2y + 1 \\ \\ x^3 + x + log_2x = (2y)^3 + 2y + log_22y [/laTEX]

xét hàm

[laTEX]f(u) = u^3 + u + log_2u \\ \\ dk: ( u > 0 )[/laTEX]

hàm đồng biến mà

[laTEX]f(x) = f(2y)[/laTEX]

nên x = 2y

bạn thay xuống dưới là dễ rồi

 

[truongduong9083]

$(1)\Longrightarrow x^3+x+log_2x=8y^3+2y+log_22y$
Xét hàm $f(t)=t^3+t+log_2t$
$f'(t)=3t^2+\dfrac{1}{tln2}+1 >0$ với t >0
Hàm đồng biến với t >0
Mà $f(x)=f(2y) \Longrightarrow x=2y$
Thay vào (2) suy ra: $\Longrightarrow y=\frac{1}{2}$
Kết luận: Nghiệm hệ là $(1;\frac{1}{2})$