H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Em ngu văn nên không biết viết lời nói đầu thế nào nên thôi, khỏi viết. Bài viết này nói về phương pháp dồn biến thông qua giới hạn dãy số.
Đầu tiên, ta hãy đến với một bất đẳng thức quen thuộc:
Chứng minh với mọi số thực $x,y,z$ ta luôn có:$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$
Giải:
Đặt $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$
Xét hiệu $f(x,y,z)-f\left(x,\dfrac{y+z}{2}, \dfrac{y+z}{2}\right)=\dfrac{3}{4}(y-z)^2 \ge 0\;\;(+)$
Ta sẽ lặp bất đẳng thức $(+)$:
$$f(x,y,z)\ge f\left(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2}\right) = f\left(\dfrac{y+z}{2},x,\dfrac{y+z}{2}\right) \ge f\left(\dfrac{y+z}{2},\dfrac{2x+y+z}{4},\dfrac{2x+y+z}{4}\right)\ge ....$$
Xét các dãy số $(x_n), (y_n), (z_n)$ với:
$$x_0=x,y_0=y,z_0=z\\
x_{2n+1}=x_{2n}, y_{2n+1}=z_{2n+1}=\dfrac{y_{2n}+z_{2n}}{2}\\
x_{2n+2}=y_{2n+1}, y_{2n+2}=z_{2n+2}=\dfrac{x_{2n+1}+z_{2n+1}}{2}$$
Dễ thấy được $\lim x_n=\lim y_n = \lim z_n=\dfrac{x+y+z}{3}=t$
Khi đó theo kết quả khi lặp bất đẳng thức $(+)$ ta có và hàm $f(x,y,z)$ liên tục nên:
$$f(x,y,z)\ge f(x_n,y_n,z_n) \to f(x,y,z)\ge f\left(\lim x_n, \lim y_n, \lim z_n\right)=t^2+t^2+t^2-t^2-t^2-t^2=0$$
Hoàn tất chứng minh.
Chắc qua bài này các anh chị cũng hiểu được ý tưởng làm của phương pháp này rồi. Ta đến với bài khó ăn hơn.
Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng:$$abc+bcd+cda+dab \le \dfrac{1}{27}+\dfrac{176}{27}abcd$$
Lời giải:
Đặt $f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab-\dfrac{176}{27}abcd=da\left(b+c-\dfrac{176}{27}bc \right)+bc(a+d)$
Như các loại dồn biến thường, ta sẽ hi vọng có đánh giá:
$$f(a,b,c,d) \le f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2},d\right) \leftrightarrow -\left(b+ c-\dfrac{176}{27}bc \right)(a-d)^2 \le 0$$
Nếu $b+c-\dfrac{176}{27}bc<0$ thì bất đẳng thức ban đầy hiển nhiên đúng.
Vậy ra ta chỉ cần xét $b+c-\dfrac{176}{27}bc \ge 0$, khi đó $f(a,b,c,d) \le f\left(a, \dfrac{b+c}{2}, \dfrac{b+c}{2}, d\right)$
Khi đó xét các dãy số $(b_n), (c_n), (d_n)$ thỏa mãn:
$$b_0=b,c_0=c,d_0=d\\
b_{2n+1}=d_{2n}, c_{2n+1}=d_{2n+1}=\dfrac{b_{2n}+c_{2n}}{2}\\
b_{2n+2}=c_{2n+1}, c_{2n+2}=d_{2n+2}=\dfrac{b_{2n+1}+c_{2n+1}}{2}$$
Dễ thấy $\lim b_n = \lim c_n = \lim d_n =\dfrac{b+c+d}{3}=\dfrac{1-a}{3}$
Theo kết quả bất đẳng thức dồn biến: $$f(a,b,c,d) \ge f\left(a,\lim b_n, \lim c_n, \lim d_n\right)=\dfrac{a(4a-1)^2(11a-14)}{729}+\dfrac{1}{27} \le \dfrac{1}{27}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c,d)=\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right)$ hoặc $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},0\right)$ và các hoán vị.
Ý tưởng của phương pháp này là vậy, anh chị có thể giải các bài khác nhiều biến hơn.
Bài tập tương tự:
1. Cho các số không âm $x,y,z,t$ thỏa mãn $x+y+z+t=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất:
$$f(x,y,z,t)=x^4+y^4+z^4+t^4+\dfrac{148}{27}xyzt$$
2. Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:
$$3(a^4+b^4+c^4+d^4)+4abcd\ge 16$$
3. Cho $a,b,c,d$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh:
$$16+2abcd\ge 3(ab+bc+cd+da+ca+db)$$
Thanks for reading.
Đầu tiên, ta hãy đến với một bất đẳng thức quen thuộc:
Chứng minh với mọi số thực $x,y,z$ ta luôn có:$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$
Giải:
Đặt $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$
Xét hiệu $f(x,y,z)-f\left(x,\dfrac{y+z}{2}, \dfrac{y+z}{2}\right)=\dfrac{3}{4}(y-z)^2 \ge 0\;\;(+)$
Ta sẽ lặp bất đẳng thức $(+)$:
$$f(x,y,z)\ge f\left(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2}\right) = f\left(\dfrac{y+z}{2},x,\dfrac{y+z}{2}\right) \ge f\left(\dfrac{y+z}{2},\dfrac{2x+y+z}{4},\dfrac{2x+y+z}{4}\right)\ge ....$$
Xét các dãy số $(x_n), (y_n), (z_n)$ với:
$$x_0=x,y_0=y,z_0=z\\
x_{2n+1}=x_{2n}, y_{2n+1}=z_{2n+1}=\dfrac{y_{2n}+z_{2n}}{2}\\
x_{2n+2}=y_{2n+1}, y_{2n+2}=z_{2n+2}=\dfrac{x_{2n+1}+z_{2n+1}}{2}$$
Dễ thấy được $\lim x_n=\lim y_n = \lim z_n=\dfrac{x+y+z}{3}=t$
Khi đó theo kết quả khi lặp bất đẳng thức $(+)$ ta có và hàm $f(x,y,z)$ liên tục nên:
$$f(x,y,z)\ge f(x_n,y_n,z_n) \to f(x,y,z)\ge f\left(\lim x_n, \lim y_n, \lim z_n\right)=t^2+t^2+t^2-t^2-t^2-t^2=0$$
Hoàn tất chứng minh.
Chắc qua bài này các anh chị cũng hiểu được ý tưởng làm của phương pháp này rồi. Ta đến với bài khó ăn hơn.
Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng:$$abc+bcd+cda+dab \le \dfrac{1}{27}+\dfrac{176}{27}abcd$$
Lời giải:
Đặt $f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab-\dfrac{176}{27}abcd=da\left(b+c-\dfrac{176}{27}bc \right)+bc(a+d)$
Như các loại dồn biến thường, ta sẽ hi vọng có đánh giá:
$$f(a,b,c,d) \le f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2},d\right) \leftrightarrow -\left(b+ c-\dfrac{176}{27}bc \right)(a-d)^2 \le 0$$
Nếu $b+c-\dfrac{176}{27}bc<0$ thì bất đẳng thức ban đầy hiển nhiên đúng.
Vậy ra ta chỉ cần xét $b+c-\dfrac{176}{27}bc \ge 0$, khi đó $f(a,b,c,d) \le f\left(a, \dfrac{b+c}{2}, \dfrac{b+c}{2}, d\right)$
Khi đó xét các dãy số $(b_n), (c_n), (d_n)$ thỏa mãn:
$$b_0=b,c_0=c,d_0=d\\
b_{2n+1}=d_{2n}, c_{2n+1}=d_{2n+1}=\dfrac{b_{2n}+c_{2n}}{2}\\
b_{2n+2}=c_{2n+1}, c_{2n+2}=d_{2n+2}=\dfrac{b_{2n+1}+c_{2n+1}}{2}$$
Dễ thấy $\lim b_n = \lim c_n = \lim d_n =\dfrac{b+c+d}{3}=\dfrac{1-a}{3}$
Theo kết quả bất đẳng thức dồn biến: $$f(a,b,c,d) \ge f\left(a,\lim b_n, \lim c_n, \lim d_n\right)=\dfrac{a(4a-1)^2(11a-14)}{729}+\dfrac{1}{27} \le \dfrac{1}{27}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c,d)=\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right)$ hoặc $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},0\right)$ và các hoán vị.
Ý tưởng của phương pháp này là vậy, anh chị có thể giải các bài khác nhiều biến hơn.
Bài tập tương tự:
1. Cho các số không âm $x,y,z,t$ thỏa mãn $x+y+z+t=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất:
$$f(x,y,z,t)=x^4+y^4+z^4+t^4+\dfrac{148}{27}xyzt$$
2. Cho các số không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:
$$3(a^4+b^4+c^4+d^4)+4abcd\ge 16$$
3. Cho $a,b,c,d$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh:
$$16+2abcd\ge 3(ab+bc+cd+da+ca+db)$$
Thanks for reading.
Last edited by a moderator: