[Toán 12]Đề thi HSG.

[giangln.thanglong11a6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề thi HSG thành phố HN 2008-2009 (vòng 1)

Bài I:
Cho hàm số [TEX]y=x^3+3(m+1)x^2+3(m^2+1)x+m^3+1[/TEX]
1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị [TEX](C_m)[/TEX] của hàm số đã cho chỏ cắt trục hoành tại 1 điểm.

Bài II:

1. GPT [TEX]\sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}.(\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3})=5x[/TEX]

2. Cho x và y là các số thực thoả mãn PT:
[TEX]x^2+y^2-4x-6y+12=0[/TEX].
Tìm x và y sao cho [TEX]A=x^2+y^2[/TEX] đạt max. Tính maxA.

Bài III:

1. Cho a,b,c là ba kích thước của 1 hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng [TEX]\sqrt{3}[/TEX]. Chứng minh :
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

2. Cho dãy số [TEX](u_n)[/TEX] với [TEX]u_n=\frac{1}{4n^2-1}[/TEX]. Thành lập dãy số [TEX](s_n)[/TEX] với [TEX]s_1=u_1[/TEX], [TEX]s_2=u_1+u_2[/TEX], [TEX]s_3=u_1+u_2+u_3[/TEX],..., [TEX]s_n=u_1+u_2+...+u_n[/TEX]. Tìm [TEX]lim s_n[/TEX].

Bài IV:

Cho hình chóp SABCD có SA là đường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD. Biết SA=a, AB=b, AC=c.
1. Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD 1 đường thẳng cắt cạnh SB tại M và cắt cạnh SD tại N. mp(AMN) cắt SC tại K. Xác định vị trí của M trên SB sao cho [TEX]V_{SAMKN}[/TEX] đạt max, min và tính chúng theo a,b,c.
2. Trong mp(ABD), trên tia At là phân giác trong [TEX]\widehat{BAD}[/TEX] chọn E sao cho [TEX]\widehat{BED}[/TEX]=45. CMR:

[TEX]AE=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2}(b+c)}{2}[/TEX]

 

[nguyenminh44]

Đề thi HSG thành phố HN 2008-2009 (vòng 1)

Bài I:
Cho hàm số [TEX]y=x^3+3(m+1)x^2+3(m^2+1)x+m^3+1[/TEX]
1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị [TEX](C_m)[/TEX] của hàm số đã cho chỏ cắt trục hoành tại 1 điểm.

Bài II:

1. GPT [TEX]\sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}.(\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3})=5x[/TEX]

2. Cho x và y là các số thực thoả mãn PT:
[TEX]x^2+y^2-4x-6y+12=0[/TEX].
Tìm x và y sao cho [TEX]A=x^2+y^2[/TEX] đạt max. Tính maxA.

Bài III:

1. Cho a,b,c là ba kích thước của 1 hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng [TEX]\sqrt{3}[/TEX]. Chứng minh :
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

2. Cho dãy số [TEX](u_n)[/TEX] với [TEX]u_n=\frac{1}{4n^2-1}[/TEX]. Thành lập dãy số [TEX](s_n)[/TEX] với [TEX]s_1=u_1[/TEX], [TEX]s_2=u_1+u_2[/TEX], [TEX]s_3=u_1+u_2+u_3[/TEX],..., [TEX]s_n=u_1+u_2+...+u_n[/TEX]. Tìm [TEX]lim s_n[/TEX].

Bài IV:

Cho hình chóp SABCD có SA là đường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD. Biết SA=a, AB=b, AC=c.
1. Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD 1 đường thẳng cắt cạnh SB tại M và cắt cạnh SD tại N. mp(AMN) cắt SC tại K. Xác định vị trí của M trên SB sao cho [TEX]V_{SAMKN}[/TEX] đạt max, min và tính chúng theo a,b,c.
2. Trong mp(ABD), trên tia At là phân giác trong [TEX]\widehat{BAD}[/TEX] chọn E sao cho [TEX]\widehat{BED}[/TEX]=45. CMR:

[TEX]AE=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2}(b+c)}{2}[/TEX]

Đề cũng không rắn lắm nhỉ.

Nhìn sơ sơ thấy bài 1 cơ bản,(nhân chia hơi trâu 1 chút)

Bài 2b. là thể hiện đại số của bài toán hình học : Tìm 1 điểm trên đường tròn sao cho nó xa gốc tọa độ nhất. Chỉ cần xét hai điểm là giao của đường tròn và đường thẳng nối gốc O với tâm I của đường tròn

Bài 3a là bài toán bất đẳng thức quen thuộc

[TEX] a^2+b^2+c^2=3[/TEX] chứng minh [TEX]\sum \frac{a}{3-a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]

Tạm nêu 1 cách

[TEX]\frac{a}{3-a^2}=\frac{a}{4-2a-(a-1)^2} \geq \frac{a}{4-2a}\geq \frac{a^2}{2} [/TEX] (chuyển vế quy đồng)

Câu 3b. [TEX]2U_n=\frac{2}{4n^2-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}[/TEX]

Rút gọn...kết quả bằng [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] thì phải

Mấy câu còn lại ...không có giấy bút nên đành chịu

Làm tốt không nhóc N.Anh ?

 

[eternal_fire]

Đề thi HSG thành phố HN 2008-2009 (vòng 1)

Bài I:
Cho hàm số [TEX]y=x^3+3(m+1)x^2+3(m^2+1)x+m^3+1[/TEX]
1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị [TEX](C_m)[/TEX] của hàm số đã cho chỏ cắt trục hoành tại 1 điểm.

Bài II:

1. GPT [TEX]\sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}.(\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3})=5x[/TEX]

Bai1: 1/Để hàm số có CĐ,CT tương đương với y'=0 có 2 nghiệm
2/Dựa vào bảng biến thiên
Bài 2
1/ĐKXĐ: [TEX] -1\leq x \leq1 [/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{1-x}=a,\sqrt{1+x}=b[/TEX] [TEX]a;b\geq 0[/TEX]
Pt đã cho tương đương [TEX]\sqrt{a^2+b^2+2ab}(b^3-a^3)=\frac{5(b^2-a^2)}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(b-a)(2+ab)-\frac{5(b-a)(b+a)}{2}=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (a+b)(b-a)(ab-\frac{1}{2})=0[/TEX]
từ đó thay lại x là ra

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 2b. là thể hiện đại số của bài toán hình học : Tìm 1 điểm trên đường tròn sao cho nó xa gốc tọa độ nhất. Chỉ cần xét hai điểm là giao của đường tròn và đường thẳng nối gốc O với tâm I của đường tròn

Em chỉ biết giải theo đại số thôi.
Giả thiết \Leftrightarrow [TEX](x-2)^2+(y-3)^2=1[/TEX]

Đặt a=x-2, b=y-3 ta có [TEX]a^2+b^2=1[/TEX].

[TEX]A=(a+2)^2+(b+3)^2=2(2a+3b)+14 [/TEX]

[TEX]\leq 2\sqrt{(2^2+3^2)(a^2+b^2)}+14=2\sqrt{13}+14[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]\frac{a}{2}=\frac{b}{3}>0[/TEX]

[TEX]a=\frac{2}{\sqrt{13}}, b=\frac{3}{\sqrt{13}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{13}}+2, y=\frac{3}{\sqrt{13}}+3[/TEX]

 

[quang1234554321]

Vừa vào topic post bài thì gặp ngay gợi ý của bác Minh
Em ko dùng gợi ý của anh Minh đâu đấy

Bài 2 :
2. Từ PT :[TEX]x^2+y^2-4x-6y+12=0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=1 (1)[/TEX]

Ta thấy [TEX]PT (1)[/TEX] là [TEX]PT [/TEX] đường tròn [TEX](C)[/TEX] có tâm [TEX]I(2;3)[/TEX] bán kính [TEX]R=1[/TEX]

Vẽ đường tròn [TEX](C)[/TEX] trên hệ trục toạ độ [TEX]Oxy [/TEX]

Gọi [TEX]M(x;y)[/TEX] là 1 điểm thuộc đường tròn

Ta có [TEX]x^2+y^2=OM^2 [/TEX] , để [TEX]A=x^2+y^2[/TEX] lớn nhất thì [TEX]OM^2[/TEX] lớn nhất hay [TEX]OM[/TEX] lớn nhất .

Mặt khác [TEX]OM[/TEX] lớn nhất khi cát tuyến của đường tròn kẻ từ [TEX]O[/TEX] đi qua tâm [TEX]I(2;3)[/TEX] .

Từ đó ta lập được đường thẳng qua [TEX]O(0;0)[/TEX] và [TEX]I(2;3)[/TEX] là [TEX]y= \frac{3}{2}x (2) [/TEX]

[TEX](x;y)[/TEX] cần tìm là nghiệm của hệ PT [TEX](1) va (2)[/TEX]
(giải hệ lấy nghiệm [TEX]x[/TEX] lớn ,từ đó suy ra [TEX]y[/TEX] )

[TEX]Amax=(OI + R)^2 = ( \sqrt[]{13} +1)^2=14+ 2 \sqrt[]{13}[/TEX]

 

[eternal_fire]

Đề thi HSG thành phố HN 2008-2009 (vòng 1)

Bài IV:

Cho hình chóp SABCD có SA là đường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD. Biết SA=a, AB=b, AC=c.
1. Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD 1 đường thẳng cắt cạnh SB tại M và cắt cạnh SD tại N. mp(AMN) cắt SC tại K. Xác định vị trí của M trên SB sao cho [TEX]V_{SAMKN}[/TEX] đạt max, min và tính chúng theo a,b,c.

1/ K là giao của AG và SC,suy ra K là trung điểm của SC
Ta có bài toán vectơ quen thuộc: Cho tam giác ABC,G là trọng tâm,1 đường thẳng đi qua G cắt cạnh AB,AC tại M,N.Thì [TEX]\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3[/TEX]
Từ đó sử dụng công thức tỉ lệ diện tích là xong
Min: khi MN là đường trung bình của tam giác SBD
Max: khi M trùng với D,hoặc N trùng với B

 

[thandongdatviet1991]

1/ K là giao của AG và SC,suy ra K là trung điểm của SC
Ta có bài toán vectơ quen thuộc: Cho tam giác ABC,G là trọng tâm,1 đường thẳng đi qua G cắt cạnh AB,AC tại M,N.Thì [TEX]\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3[/TEX]
Từ đó sử dụng công thức tỉ lệ diện tích là xong
Min: khi MN là đường trung bình của tam giác SBD
Max: khi M trùng với D,hoặc N trùng với B

Sao cậu nói tắt thế.Tớ sẽ chứng minh công thức trên không dùng véctơ mà dùng mênêlaúyt.NHƯNG MÀ TỚ ĐANG BẬN CHIỀU MAI TỚ POST LÊN.

 

[eternal_fire]

Sao cậu nói tắt thế.Tớ sẽ chứng minh công thức trên không dùng véctơ mà dùng mênêlaúyt.NHƯNG MÀ TỚ ĐANG BẬN CHIỀU MAI TỚ POST LÊN.

Sorry nhưng lúc đó tớ đang bạn,còn công thức đó tớ đâu bảo chỉ có mỗi vectơ

 

[giangln.thanglong11a6]

Nốt câu 2 của bài hình là xong toàn bộ cái đề này.

Gọi L, J là hình chiếu của E lên AB, AD.
Ta có các tam giác AEL và AEJ vuông cân suy ra ALEJ là hình vuông.
Đặt [TEX]AL=x[/TEX]. ([TEX]x>b[/TEX], [TEX]x>c[/TEX])
Theo định lí Pythagore:
[TEX]BE^2=BL^2+EL^2=(x-b)^2+x^2.[/TEX]
[TEX]DE^2=DJ^2+EJ^2=(x-c)^2+x^2.[/TEX]

[TEX]\Rightarrow BE^2+DE^2=(x-b)^2+(x-c)^2+2x^2[/TEX](1)

Ta lại có [TEX]S_{ALEJ}=S_{BEL}+S_{DEJ}+S_{ABD}+S_{BDE}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}x(x-b)+\frac{1}{2}x(x-c)+\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}BE.DE.sinE[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}BE.DE=x(b+c)-bc[/TEX](2)

Từ đó áp dụng định lí hàm số cos với tam giác BDE ta thu được:

[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}=cosE=\frac{BE^2+DE^2-BD^2}{2BD.DE}[/TEX](3)

Thế các đẳng thức ở (1) và (2) vào (3) ta thu được PT bậc hai với x:

[TEX]x^2-(b+c)x+\frac{bc}{2}=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x_1=\frac{b+c+\sqrt{b^2+c^2}}{2}[/TEX]

hoặc [TEX]x_2=\frac{b+c-\sqrt{b^2+c^2}}{2}[/TEX]

Nghiệm [TEX]x_2[/TEX] loại do [TEX]x>b[/TEX] và [TEX]x>c[/TEX]. Vậy AE=[TEX]x\sqrt{2}[/TEX] (đpcm)

 

[ngomaithuy93]

2. Cho x và y là các số thực thoả mãn PT:
[TEX]x^2+y^2-4x-6y+12=0[/TEX].
Tìm x và y sao cho [TEX]A=x^2+y^2[/TEX] đạt max. Tính maxA.

[TEX] x^2+y^2-4x-6y+12=0 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=1[/TEX]
[TEX]\vec{u}=(x-2;y-3)[/TEX]
[TEX] \vec{v}=(2;3)[/TEX]
[TEX] |\vec{u}|+|\vec{v}|\geq|\vec{u}+\vec{v}|[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}+\sqrt{4+9}\geq \sqrt{x^2+y^2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2+y^2 \leq (1+\sqrt{13})^2[/TEX]
[TEX] "=" \Leftrightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}[/TEX]

 

[pptthocgiang]

các bạn làm dõ câu 1 b đi xem sao
can cứ vào đồ thị hay bảng bt