[toán 12]ĐỀ thi hỌc sinh giỎi toÁn tp hỒ chÍ minh 2007-2008

[quinhmei]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

KÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TP HỒ CHÍ MINH
LỚP 12 THPT NĂM 2007-2008
THỜI GIAN: 180 PHÚT​

Câu 1.(5 điểm) Cho hàm số:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
3) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến tại 1 điểm M bất kì của (C) cắt 2 đường tiệm cận tại P và Q. CMR: tam giác IPQ có diện tích không đổi.

Câu 2.(4 điểm)
1) Trong mp toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng:

a) Cmr và luôn cắt nhau với mọi giá trị của tham số m. Tìm tọa độ giao điểm I của

và

.
b) Khi m thay đổi thì I di động trên 1 đường cố định nào?

2)Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

Viết pt các tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.

Câu 3.(3 điểm)
Giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau:
a)

b)

c)

Câu 4.(2 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa

CMR:

Câu 5.(4 điểm)
1) Giải phương trình :

[/tex].
2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích S thỏa S=(a+b+c)(c+b-a). CMR

Câu 6.(2 điểm)
Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

HẾT​

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài 4
Đặt [TEX]\frac{b}{a}=x,\frac{c}{a}=y[/TEX]
từ giả thiết
ta có [TEX]x+y=2[/TEX]
bdt đã cho được viết lại dưới dạng
[TEX]\frac{1+x}{2-x}+\frac{1+y}{2-y} \geq 4[/TEX]
nhân lên rồi rút gọn
[TEX]\Leftrightarrow 1 \geq xy[/TEX]
hiển nhiên do ta có bất đẳng thức [TEX]\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Câu 3:

b) [TEX]\left{x^3(2+3y)=1\\ x(y^3-2)=3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{3y+2=\frac{1}{x^3} \\ \frac{3}{x}+2=y^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y^3+3y=\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x}[/TEX]

Xét hàm [TEX]f(t)=t^3+3t[/TEX]. Ta có hàm f(t) đồng biến trên R.

Do đó[TEX] f(y)=f(\frac{1}{x}) \Leftrightarrow y=\frac{1}{x} [/TEX]

Từ đây thế vào hệ và giải tiếp.

Ta thu được nghiệm [TEX](x;y)=(\frac{1}{2};2),(-1;-1)[/TEX]

 

[nguyenminh44]

Câu3a,
[TEX]log_2(1+\sqrt[3]{x})=log_7x = y[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=(2^y-1)^3=7^y[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2^y = (\sqrt[3]{7})^y+1 \Leftrightarrow (\frac{\sqrt[3]{7}}{2})^y +(\frac{1}{2})^y=1[/TEX]

Vế trái là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất y=3
[TEX]\Rightarrow x=7^3[/TEX]