[Toán 12]-Đề chọn đội tuyển Toán

[giangln.thanglong11a6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[Toán 12]-Đề chọn đội tuyển Toán Thăng Long

1. Cho PT [TEX]a{x}^{3}+27{x}^{2}+12x+2009=0[/TEX] có 3 nghiệm phân biệt.
Hỏi PT [TEX]4(a{x}^{3}+27{x}^{2}+12x+2009)(3ax+27)={(3a{x}^{2}+54x+12)}^{2}[/TEX] có bao nhiêu nghiệm?

2. Tìm min, max:

[TEX]y=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{1-x}+1}[/TEX]

3. Cho [TEX]\Delta ABC [/TEX]có diện tích S; x,y,z dương tuỳ ý.
CMR [TEX]\frac{x}{y+z}{a}^{2}+\frac{y}{z+x}{b}^{2}+\frac{z}{x+y}{c}^{2}\geq ab+bc+ca-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2}\geq2\sqrt{3}S[/TEX]

4. Tìm m nhỏ nhất để hệ sau có nghiệm:
[TEX]m(x+\sqrt{1-{x}^{2}}+1)=2\sqrt{{y}^{2}-{y}^{4}}+y+\sqrt{1-{y}^{2}}+2[/TEX]
[TEX]{x}^{3}-{y}^{3}-3{x}^{2}+3{y}^{2}=\sqrt{x}-\sqrt{y}[/TEX]

5. Cho 2 đường thẳng chéo nhau x và y. A, B cố định trên x. C, D di động trên y. AB=CD=2a. Độ dài đường vuông góc chung của x và y là a. Góc giữa x và y là 60.
a) Tính V(ABCD)
b)Tìm max của diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.

 

[daihoacuc]

Đặt [TEX]f(x)=ax^3+27x^2+12x+2009 \Rightarrow f'(x)=3ax^2+54x+12 \Rightarrow f"(x)= 6ax+54 \Rightarrow f^{(3)}(x)=6a[/TEX] với a#0

[TEX]PT \Leftrightarrow g(x)= 2f(x).f"(x) -f'^2(x)=0[/TEX]

Ta có [TEX]g'(x)=2f(x) f^{(3)}(x)=12af(x)[/TEX] có 3 nghiệm phân biệt [TEX]x_1; x_2 ; x_3[/TEX] đồng thời là 3 nghiệm của f(x).

[TEX]\Rightarrow g(x_i)=-f'^2(x_i)<0 [/TEX] với i=1, 2, 3

Dễ dàng nhận thấy g(x) là 1 đa thức bậc 4 với hệ số của [TEX]x^4[/TEX] là [TEX]3a^2>0\Rightarrow \lim_{x to \infty} g(x)= +\infty[/TEX]

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 

[daihoacuc]

Bài 2 . Đặt [TEX]\sqrt{x+3}=u\geq 0 ; \sqrt{1-x}=v \geq 0[/TEX]

Ta có [TEX]u^2 +v^2=4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX] Tập hợp các cặp điểm (u,v) là cung tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất của đường tròn (O; 2) trong hệ trục toạ độ Ouv(vẽ đường tròn để tưởng tượng nhé). Ta có [TEX]A(2;0); B(0;2)[/TEX]

Ta có [TEX](4y-3)u + (3y-4)v+y-1=0[/TEX] Coi đây là một đường thẳng[TEX](d)[/TEX] trong hệ Ouv, với y là tham số.

Bây giờ ta tìm điều kiện của tham số y để đường thẳng này cắt cung tròn trên.

[TEX](d)[/tex] luôn đi qua điểm cố định [TEX](u;v)=I(\frac{-1}{7} ; \frac{-1}{7})[/TEX]

Đường thẳng IA và IB có hệ số góc lần lượt là [TEX]\frac{1}{15}[/TEX] và 15

Muốn [TEX](d)[/TEX] cắt nửa đường tròn thì nó phải có hệ số góc nằm trong đoạn [TEX][\frac{1}{15};15] \Leftrightarrow \frac{1}{15}\leq \frac{4-3y}{4y-3} \leq 15[/TEX]

Chẳng biết quá trình giải có sai sót không nên tớ làm đến đây thôi, không giải đến đáp số.

 

[potter.2008]

Bài 2 . Đặt [TEX]\sqrt{x+3}=u\geq 0 ; \sqrt{1-x}=v \geq 0[/TEX]

Ta có [TEX]u^2 +v^2=4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX] Tập hợp các cặp điểm (u,v) là cung tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất của đường tròn (O; 2) trong hệ trục toạ độ Ouv(vẽ đường tròn để tưởng tượng nhé). Ta có [TEX]A(2;0); B(0;2)[/TEX]

Ta có [TEX](4y-3)u + (3y-4)v+y-1=0[/TEX] Coi đây là một đường thẳng[TEX](d)[/TEX] trong hệ Ouv, với y là tham số.

Bây giờ ta tìm điều kiện của tham số y để đường thẳng này cắt cung tròn trên.

[TEX](d)[/tex] luôn đi qua điểm cố định [TEX](u;v)=I(\frac{-1}{7} ; \frac{-1}{7})[/TEX]

Đường thẳng IA và IB có hệ số góc lần lượt là [TEX]\frac{1}{15}[/TEX] và 15

Muốn [TEX](d)[/TEX] cắt nửa đường tròn thì nó phải có hệ số góc nằm trong đoạn [TEX][\frac{1}{15};15] \Leftrightarrow \frac{1}{15}\leq \frac{4-3y}{4y-3} \leq 15[/TEX]

Chẳng biết quá trình giải có sai sót không nên tớ làm đến đây thôi, không giải đến đáp số.

Lâu ko lên , thấy cái cái topic này hay phết
Tớ nhẩm sơ sơ cách này ko bít có đúng ko ..
Đặt [tex] \frac{1}{2}\sqrt{x+3}=cosx[/tex]
[tex] \frac{1}{2}\sqrt{1- x}=sinx[/tex]
sau đó bt trên chuyển thành biểu thức với sinx và cosx ..nhân chéo lên chuyển thành pt cơ bản của lượng giác rồi tìm min,max.....mọi người coi sao ...

 

[potter.2008]

1
3. Cho [TEX]\Delta ABC [/TEX]có diện tích S; x,y,z dương tuỳ ý.
CMR [TEX]\frac{x}{y+z}{a}^{2}+\frac{y}{z+x}{b}^{2}+\frac{z}{x+y}{c}^{2}\geq ab+bc+ca-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2}\geq2\sqrt{3}S[/TEX]

Đang vội đi măm..nên tớ nói hướng mọi người coi sao ..
Chia làm 2 BĐT chính là :
thứ nhất :
[tex]\frac{x}{y+z}{a}^{2}+\frac{y}{z+x}{b}^{2}+\frac{z}{x+y}{c}^{2}\geq ab+bc+ca-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2}[/tex]
cái này theo Cauchy-Swarts .....
Thứ hai:
[tex]ab+bc+ca-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2}\geq2\sqrt{3}S[/tex]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=28100 mọi người coi trong đường link này nhá ......tớ giải trong đó rùi ...

 

[daihoacuc]

Tớ nhẩm sơ sơ cách này ko bít có đúng ko ..
Đặt [TEX]\frac{1}{2}\sqrt{x+3}=cos{x}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2}\sqrt{1-x}=sin{x}[/TEX]

sau đó bt trên chuyển thành biểu thức với sinx và cosx ..nhân chéo lên chuyển thành pt cơ bản của lượng giác rồi tìm min,max...

Chắc chỗ đó cậu nhầm ( coi như là sin t và cos t nhé). Tớ cũng đã thử cách này rồi nhưng mà không đuợc vì còn điều kiện sin t và cos t phải không âm nữa...

Nhìn sơ qua thì khi nhân lên sẽ thu được [TEX](8y-6)cos{t} +(6y-8)sin{t}=1-y[/TEX]

Ta có [TEX](8y-6)^2+ (6y-8)^2 \geq \frac{1}{2} (8y-6-6y+8)^2 =2(y-1)^2 \geq (1-y)^2 \forall y[/TEX]

Như vậy cách làm này là không có hiệu quả rồi.

Thử tìm cách khác tối ưu xem(Cách của mình xem ra vẫn còn dài dòng quá)

@ potter: Sao bít tên tui zay?

 

[giangln.thanglong11a6]

Xin lỗi mọi người vì post thiếu bài.

Bài 2 nếu không nghĩ được thì tốt nhất là mò ra maxy=9/7 khi x=-3 và miny=7/9 khi x=1 sau đó biến đổi tương đương (hơi ma mãnh, nhưng mà nhanh).

 

[nguyenminh44]

Bài 4

[TEX]PT (2) \Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x^2+y^2+xy-3x-3y)=\sqrt{x}-\sqrt{y}[/TEX]

Từ phương trình (1) suy ra [TEX]0\leq x; y\leq1[/TEX] Do đó

[TEX]x^2\leq x[/TEX]
[TEX]y^2\leq y[/TEX]
[TEX]xy\leq \sqrt{xy}\leq 2\sqrt{xy} \leq x+y <2(x+y) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^2 +y^2 +xy- 3x-3y <0[/TEX]

[TEX]PT (2) \Leftrightarrow x=y[/TEX]. Thay vào pt (1) ta được

[TEX]m=\frac{2x \sqrt{1-x^2} +x+\sqrt{1-x^2} +2}{x+\sqrt{1-x^2}+1}=1+\frac{(x+\sqrt{1-x^2})^2}{x+\sqrt{1-x^2}+1}=1+\frac{a^2}{a+1}[/TEX]


(Đặt [TEX]x+\sqrt{1-x^2}=a[/TEX]) Do [TEX]0 \leq x \leq1 \Rightarrow 1\leq a \leq \sqrt{2}[/TEX]

Hàm [TEX]\frac{a^2}{a+1}[/TEX] đồng biến

từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của m là [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

Với [TEX]m=\frac{3}{2}[/TEX] hệ có nghiệm (0;0) và(1;1)

Bài 2: Theo tớ, cách của daihoacuc cũng không đến nỗi dài dòng lắm

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 3 :

[TEX]2ab+2bc+2ca-({a{^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})=4(p-a)(p-b)+4(p-b)(p-c)+4(p-c)(p-a)[/TEX]

[TEX]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX]

Đặt x=p-a, y=p-b, z=p-c (x, y, z>0) rồi thay vào bình phương lên ta thu được BĐT:

[TEX]{(xy+yz+zx)}^{2} \geq 3xyz(x+y+z)[/TEX]

CM BĐT này bằng khai triển.