[TOÁN 12] cực trị của hàm số

[ngobuongbinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình mấy bài này với, thanks
1.tìm m để hs:
y= (x^2+mx+2)/(x-1) có điểm cực tiểu nằm trên (P): y=x^2+x-4
2.tìm m để đths
y=[mx^2+(m^2+1)x+4m^3+m]/(x+m)
tương ứng có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II và 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt phẳng toạ độ
3.cho hs y=(2x^2-3x+m)/(x-m)
tìm m để hs có CĐ,CT tm /yCĐ- yCT />8
4.cho mình hỏi thêm điều này: nếu đề bài yêu cầu viết ptđt đi qua điểm CĐ,CT của hs có chứa tham số thì mình có phải tìm đk để hs có CĐ,CT hay là chia y cho y' để tìm pt đt luôn

 

[thophi128]

câu 1:
[TEX]y=\frac{x^2+mx+2}{x-1}[/TEX]
[TEX]y' = \frac{x^2-2x-(m+2)}{(x-1)^2}[/TEX]

Để hàm số có cực tiếu (tức đồng thời có cực đại) thì pt [TEX]y'=0 [/TEX] phải có 2 nghiệm pb

hay pt [TEX]x^2-2x-(m+2) = 0[/TEX] có 2 nghiệm pb
[TEX]\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m+3 > 0 \Leftrightarrow m > -3[/TEX]

khi đó ta có 2 nghiệm [TEX]x_1 = 1-\sqrt{m+3} ; x_2 = 1+\sqrt{m+3}[/TEX]
dựa vào dấu của y' ta có điểm cực tiểu của hàm số là [TEX]x=1+\sqrt{m+3}[/TEX] (hình vẽ)

Viết pt đường thẳng qua 2 cực trị
[TEX]y=\frac{(x^2+mx+2)'}{(x-1)'}=2x+m[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y_{CT} = 2x_{CT} + m =2+2\sqrt{m+3} + m[/TEX]

Mà ta có cực tiểu thuộc parabol [TEX]y=x^2+x-4[/TEX] nên
[TEX]2+2\sqrt{m+3} + m = (1+\sqrt{m+3})^2 + 1+\sqrt{m+3} - 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m = -2[/TEX]
thoả mãn [TEX]m > -3[/TEX]

vậy [TEX]m = -2[/TEX] là giá trị cần tìm

 

[thophi128]

@mods:
mình post riêng để dễ nhìn
không phải spam nhé

Câu 2

Hình vẽ cho dễ hiểu

Thực chất bài toán yêu cầu tìm m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía so với Oy và 2 phía so với Ox

Công cụ chính là Viet.

[TEX]y' = \frac{m(x^2+2mx-3m^2)}{(x+m)^2}[/TEX]
Đặt [TEX]g(x) = x^2+2mx-3m^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \Delta_g = 4m^2[/TEX]

Bây h ta lần lượt làm các bước sau

1/ để hàm số có cực đại, cực tiểu => pt y'= 0 phải có 2 nghiệm pb khác [TEX]{-m}[/TEX]
[TEX]\left{\begin{m\neq 0}\\{\Delta_g > 0}\\{g(-m) \neq 0} [/TEX]
[TEX]\left{\begin{m\neq 0}\\{4m^2 > 0} \\ {m^2-2m^2-3m^2 \neq 0} [/TEX]

e tự tính nhé.
khi đó 2 điểm cực trị của hs sẽ là x1, x2 chính là 2 nghiệm của y'=0 (hay g(x) = 0)


2/ để có cực trị thoả mãn yêu cầu bài toán cần
[TEX]\left{\begin{x_1.x_2 < 0}\\{y_1.y_2 < 0}[/TEX]
Giải lần lượt từn điều kiện

Với [TEX]x_1.x_2 < 0[/TEX] dùng Viet là ra ngay. (tự làm nhé )
Với [TEX]y_1.y_2 < 0[/TEX] ta có

Tại cực trị ta có

y= (đạo hàm tử) / (đạo hàm mẫu) = [TEX]2mx +m^2+1[/TEX]
nên
[TEX]y_1.y_2 = (2mx_1+m^2+1)(2mx_2+m^2+1) = 4m^2 x_1.x_2 + 2m(m^2+1)(x_1+x_2)+(m^2+1)^2 < 0[/TEX]

Dùng Viet tiếp để thay [TEX]x_1+x_2 [/TEX] và [TEX]x_1.x_2[/TEX] theo m.

Done!

 

[thophi128]

Câu 3:
Làm hoàn toàn tương tự, công cụ chính vẫn là Viet
Gợi ý như sau

1/ tính y'. Tìm điều kiện để y' có hai nghiệm phâm biệt khác m (vì x = m làm cho mẫu bằng 0)

Cái này làm giống như trên câu 2
[TEX]\left{\begin{\Delta_g > 0}\\{g(m) \neq 0} [/TEX]

2/ khi đã yên tâm là hàm số có 2 cực trị là x1, x2 rồi (với x1, x2 là hai nghiệm của pt y'=0 hay g(x) =0, g(x) đặt như câu 2, tức là tử thức của y' ), ta mới xét đến điều kiện

[TEX]\left |y_1 - y_2 \right | > 8[/TEX]
Ta sẽ dùng phương pháp lập pt đường qua 2 cực trị
y= đạo hàm tử / đạo hàm mẫu = 4x-3

suy ra y1 = 4x1-3; y2 = 4x2-3
[TEX]\left |4(x_1-x_2) \right | > 8 \Leftrightarrow[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left |x_1-x_2 \right | > 2 \Leftrightarrow[/TEX]

Đến đây muốn áp dụng viet ta phải bình phương 2 vế. Do 2 vế đều dương lên được quyền bình phương một các tương đương

[TEX]\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2 > 4 \Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 -2x_1.x_2 > 4[/TEX]

Áp dụng Viet là ra nhé

Câu 4

Em đọc lời giải câu 3 sẽ có câu trả lời.
Cụ thể là cần phải tìm điều kiện để cho nó có CĐ, CT đã rồi sau đó mới chia y cho y'
Vì hàm ko bậc 3 lúc nào cũng có đạo hàm => lúc nào cũng có thể chia y cho y'
nhưng ko phải lúc nào cũng có cực trị

Note: Các bài toán cực trị thường có dạng

"Tìm m để hàm số có N cực trị thỏa mãn blah blah ...."

Thì đầu tiên em phải tìm để cho nó có N trị đã, sau đó mới giải quyết cái blah blah kia