[Toán 12] Chứng minh rằng: $2<(1+\dfrac{1}{n})^n <3$

[cassakun1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho n nguyên dương và n >1. Chứng minh rằng:

$2<(1+\dfrac{1}{n})^n <3$

 

[truongduong9083]

Ta có
$\bullet$ $(1+\dfrac{1}{n})^n = 1+C_n^1.\dfrac{1}{n}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}$
$= 2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n} > 2$
$\bullet$ Ta chứng minh $C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n} < 1$ (*) là xong
Nhận xét: $C_n^k.\dfrac{1}{n^k} = \dfrac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{k!.n^k} < \dfrac{1}{k!} <\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$ (Do $(n-k+1)(n-k+2)...n < n^k$)
Cho k chạy từ 2 đến n suy ra chứng minh được (*) nhé

 

[l4s.smiledonghae]

Cho n nguyên dương và n >1. Chứng minh rằng:

$2<(1+\frac{1}{n})^n <3$

Mình có nhận xét như thế này không biết đúng không:
Tổng của dãy $(1+\frac{1}{n})^n$ chính là giới hạn của dãy đó đến vô cùng, mà giới hạn đó lại là số e
e là một số vô tỉ và 2 < e < 3
Vậy suy ra điều phải chứng minh