[Toán 12] Chứng minh bất đẳng thức

[ljnhpapu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số dương x,y,z thoả mãn $x+y+z= \dfrac{yz}{3x}$ CMR:
$x \leq (y+z)(\dfrac{2\sqrt{3}-3}{6})$

 

[truongduong9083]

Cách 1
Do x,y,z dương nên theo BDT Cô-si.
Ta có:
$3x^2+3x(y+z)=yz \Rightarrow 3x^2+3x(y+z)\leq\frac{(y+z)^2}{4}$
Đặt y+z=t (t>0)
Ta được:
$3x^2+3xt\leq\frac{t^2}{4} \Leftrightarrow 12x^2+12tx-t^2 \leq 0$
Giải bất phương trình này kết hợp điều kiện dễ dàng có:
$x\leq \frac{2\sqrt{3}-3}{6}t$
Cách 2
đặt: $\begin{cases}a= \frac{y}{x} \\ b = \frac{z}{x} \end{cases}$
Giả thiết bài toán trở thành: $$1+a+b = \frac13 ab $$ và ta cần chứng minh: $$2( 2\sqrt{3} +3) \le a+b$$
sử dụng $ab \le \frac14(a+b)^2$ là OK.