[Toán 12] Chứng minh bất đẳng thức: $\sum \dfrac{a}{1+b^2.c} \le 2$

[mimi_st]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 4 số dương a,b,c,d thỏa: $a+b+c+d=4$
CMR: $$\dfrac{a}{1+b^2.c} +\dfrac{b}{1+c^2.d}+ \dfrac{c}{1+d^2.a} + \dfrac{d}{1+a^2.d} \geq 2$$

P/s: Chú ý cách gõ công thức chứ bạn đã post rất nhiều bài mà vẫn không học cách gõ, bạn phải xác định rõ dạng bài đây là " Chứng minh BDT" mà bạn lại ghi là " Bất phương trình" là sao nhỉ? và trích dẫn đoạn ngắn đề bài lên tiêu đề vì lúc tìm kiếm sẽ dễ hơn, chứ ai cũng "Chứng minh BDT" thì lúc tìm kiếm sẽ rất khó.

 

[truongduong9083]

Giải:​

Ta có $\sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2c} = \sum_{cyc} (a - \dfrac{ab^2c}{1+b^2c}) \geq \sum_{cyc} (a - \dfrac{ab\sqrt{c}}{2}) = \sum_{cyc} (a - \dfrac{b.2.\sqrt{a(ac)}}{4}) \geq \sum_{cyc} (a - \dfrac{b(a+ac)}{4})$
$= 4 - \dfrac{1}{4}[(ab+bc+ca+ad)+(abc+bcd+dca+abd) $
Mà
1. $ab+bc+ca+ad = (a+c)(b+d) \leq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4} = 4$
2. $abc+bcd+dca+abd = ab(c+d)+cd(a+b) \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}(c+d)+\dfrac{(c+d)^2}{4}(a+b) = \dfrac{1}{4}(a+b)(c+d)(a+b+c+d) \le 4$
Vậy $\dfrac{a}{1+b^2.c} + \dfrac{b}{1+c^2.d} +\dfrac{ c}{1+d^2.a} + \dfrac{d}{1+a^2.b} \ge 4 - \dfrac{1}{4}(4+4) = 2$