[TOÁN 12] Các mem thử sức đề thi học sinh giỏi TP nào!

[nofile_186]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ở đây tớ chỉ trích dẫn mấy bài mà đến giờ phút này tớ chưa có làm được. Mọi người giúp với nha!
Bài 1: Cho phương trình: [TEX]ax^3 + 21x^2 + 13x + 2008 = 0[/TEX] có 3 nghiệm thực phân biệt.
Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?
[TEX]4( ax^3 + 21x^2 +13x + 2008)(3ax + 21) = (3ax^2 + 42x + 13)^2 [/TEX] [TEX](a\in R, a\neq0)[/TEX]

Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều cạnh a. chiều cao SA = h.
1, mặt phẳng qua A vuông góc vs SD cắt SB, SC, SD tại B', C', D'. Chứng minh AB'C'D' là tứ giác nội tiếp.
2, chứng minh AB' > C'D'
( bài này đưa hình lên có lẽ hơi mất thời gian, các pác chỉ cần nói hướng cho em thui cũng được

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác sao cho mỗi góc của nó thoả mãn phương trình:
[TEX](65 sinx - 56)(80 - 64sinx - 65cos^2x) = 0[/TEX]

 

[doremon.]

Hình trước

Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều cạnh a. chiều cao SA = h.
1, mặt phẳng qua A vuông góc vs SD cắt SB, SC, SD tại B', C', D'. Chứng minh AB'C'D' là tứ giác nội tiếp.
2, chứng minh AB' > C'D'

a) Ta có :[TEX]\left{\begin{BD \bot AB}\\{SA \bot BD} [/TEX]\Rightarrow[TEX]BD \bot (SAB)[/TEX]\Rightarrow[TEX]AB'\botBD [/TEX]

Mà [TEX]\left{\begin{AB' bot BD }\\{AB' \bot SD} [/TEX]\Rightarrow[TEX]AB' \bot (SBD)[/TEX]\Rightarrow[TEX]AB' \bot SB[/TEX]

Chứng minh tương tự ta có:

[TEX]\left{\begin{AB' \bot SB}\\{AC' bot SC}\\{AD' bot SD} [/TEX]

\RightarrowS.AB'C'D' nội tiếp mặt cầu đường kính SA

\RightarrowAB'C'D' là tứ giác nội tiếp
b)

Ta có:[TEX]\left{\begin{AC=BD=a\sqrt{3}}\\{AD=2a} [/TEX]

[TEX]\frac{1}{AB'^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]AB'=\frac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}[/TEX]

Lại có :[TEX]\left{\begin{D'C' \bot SD}\\{SD'=\frac{h^2}{\sqrt{4a^2+h^2}}\\{SC'=\frac{h^2}{\sqrt{h^2+3a^2}} [/TEX]

\Rightarrow[TEX]D'C'=\sqrt{SC'^2-SD'^2}=\frac{ah}{\sqrt{(4a^2+h^2)(h^2+3a^2)}}[/TEX]

Dễ thấy [TEX](4a^2+h^2)(h^2+3a^2)>(a^2+h^2)(4a^2+h^2)> (a^2+h^2)[/TEX]

\Rightarrowđpcm

 

[doremon.]

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác sao cho mỗi góc của nó thoả mãn phương trình:
[TEX](65 sinx - 56)(80 - 64sinx - 65cos^2x) = 0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{sinx=\frac{56}{65}}\\{80 - 64sinx - 65cos^2x= 0} [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{sinx=\frac{56}{65}}\\{sinx=\frac{25}{65}}\\{sinx=\frac{39}{65} [/TEX]
Giả sử tồn tại 1 tam giác sao cho
[TEX]\left{\begin{sinA=\frac{56}{65}, \frac{\pi}{2}<A<\pi}\\{sinB=\frac{25}{65}}\\{sinC=39/65}\\{0<B,C< \frac{\pi}{2}} [/TEX]
Dễ thấy : [TEX]\left{\begin{0< B< \frac{\pi}{6}}\\{0< C< \frac{\pi}{4}}\\{sin(B+C)=sinA [/TEX]
\Rightarrow[TEX]\left{\begin{0< B+C<\frac{\pi}{2}}\\{sin(B+C)=sinA} [/TEX]
\Rightarrow[TEX]A+B+C =\pi[/TEX]
\Rightarrowđpcm

 

[doremon.]

Bài 1: Cho phương trình: [TEX]ax^3 + 21x^2 + 13x + 2008 = 0[/TEX] có 3 nghiệm thực phân biệt.
Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?
[TEX]4( ax^3 + 21x^2 +13x + 2008)(3ax + 21) = (3ax^2 + 42x + 13)^2 [/TEX] [TEX](a\in R, a\neq0)[/TEX]

Đặt [TEX]f(x)=ax^3 + 21x^2 + 13x + 2008 [/TEX]
Ta có [TEX]4( ax^3 + 21x^2 +13x + 2008)(3ax + 21) = (3ax^2 + 42x + 13)^2 [/TEX]\
\Leftrightarrow[TEX]2f(x).f''(x)=(f(x))^2[/TEX]
Xét g(x)=[TEX]2.f(x).f''(x)-[f(x)]^2[/TEX]
g'(x)=[TEX]2f'(x).f''(x)+2f(x).f^{(3)}(x)-2f'(x).f^{(2)}(x)=2.f(x).f'^{(3)}(x)[/TEX]
\Rightarrowg'(x)=0 \Leftrightarrow[TEX]2.f(x).f'''(x)=0[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{f(x)=0}\\{f^{(3)}(x)=6a=0( loai)} [/TEX]

\Rightarrowpt : g'(x)=0 có 3 nghiệm thực phân biệt
Từ BBT\Rightarrow[TEX]g(x)=0[/TEX]có 2-->4 nghiệm thực phân biệt

 

[nofile_186]

hj`! tớ bổ sung thêm cách 2 cho bài 3 là có thể quy về cạnh dựa vào định lý sin rồi chứng minh theo bất đẳng thức tam giác. Nhưng tất nhiên cách của doremon vẫn nhanh hơn.