Toán 12.BĐT

[lhnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]x,y >0, x^2 + y^2 =\frac 23[/TEX]
CMR[TEX] \frac{x }{1 - x^2 + \frac{y}{1 - y^2} \geq \frac 23[/TEX]

Tham khảo : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917

 

[kakinm]

Cho x,y >0, x^2 + y^2 =2/3
CMR x /(1 - x^2) + y /(1 - y^2) \geq 2/3

BDT
\Leftrightarrow[TEX]\frac{x^2}{x{1-x^2)}[/TEX]+[TEX]\frac{y^2}{y(1-y^2)}[/TEX]\geq[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]

cosi cho mẫu thì ra thôi

 

[lhnam]

Sorry, mình ghi nhầm đề
x /(1 - x^2) + y /(1 - y^2) >= căn 3

 

[dungnhi]

Sorry, mình ghi nhầm đề
x /(1 - x^2) + y /(1 - y^2) >= căn 3

[TEX]\frac{x^2}{x-x^3} + \frac{y^2}{y-y^3}[/TEX]
Xét hàm [TEX]f(a) = \frac{1}{a-a^3}[/TEX]
Tính f(a)' => f(a) min tại [TEX]a= \frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX] tức là [TEX]Minf(a)= \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
=> đpcm

 

[kakinm]

Sorry, mình ghi nhầm đề
x /(1 - x^2) + y /(1 - y^2) >= căn 3

Viết lại BĐt dưới dạng
[TEX]\frac{x^2}{x(1-x^2)[/TEX]+[TEX]\frac{y^2}{y(1-y^2)[/TEX]
ta có
[TEX]x(1-x^2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2(1-x^2)}[/TEX]
theo co si thì
[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2(1-x^2)^2}\leq\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{(2x^2+2-2x^2)^3}{3^3}[/TEX]=[TEX]\frac{2}{3\sqrt{3}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{y^2}{x(1-x^2)[/TEX][TEX]\geq\frac{3\sqrt{3}x^2}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{y^2}{y(1-y^2)[/TEX][TEX]\geq\frac{3\sqrt{3}y^2}{2}[/TEX]
Cộng vế vế 2 BĐT trên lại ta đc
[TEX]\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2)[/TEX]\geq[TEX]\sqrt{3}[/TEX]
dấu= xảy ra khi [TEX]x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]