[toán 12]BĐT khó nè

[tuyetnhung198]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giải hộ mình mấy bài này với nha:
1:[TEX]{Cho } \Delta ABC [/TEX] nhọn. CMR
[TEX]\frac{\cos^2 A}{\cos^2 \frac{A}{2}} + \frac{\cos^2 B}{\cos^2 \frac{B}{2}} + \frac{\cos^2 C}{\cos^2 \frac{C}{2}} \ge \ 1[/TEX]
2:Cho [TEX]a, b, c[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3 [/TEX]
Tìm Max [TEX]a + b + c - abc[/TEX]

 

[longtt1992]

Bài 2 làm thế này nhé :

ta dùng BDT BUN cho [tex]a + b + c[/tex] thế này
[tex](a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a + b + c)^2 \leq 9[/TEX]
\Rightarrow [TEX] |a + b + c| \leq 3[/TEX]

còn với abc thì làm thế này
áp dụng cô si

[tex]abc \leq \frac{(a + b + c)^3}{3} \leq 9[/TEX]


Và thế là ra ngay max. Em mới học 11 thôi lên đây giải bài 12 hi hi

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 2 làm thế này nhé :

ta dùng BDT BUN cho [tex]a + b + c[/tex] thế này
[tex](a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a + b + c)^2 \leq 9[/TEX]
\Rightarrow [TEX] |a + b + c| \leq 3[/TEX]

còn với abc thì làm thế này
áp dụng cô si

[tex]abc \leq \frac{(a + b + c)^3}{3} \leq 9[/TEX]


Và thế là ra ngay max. Em mới học 11 thôi lên đây giải bài 12 hi hi

Ôi Long ơi nó là [TEX]a+b+c-abc[/TEX] tức là dấu trừ đứng đằng trước abc thì làm sao mà làm kiểu đó được. Bài này có max xấu lắm, phải dùng hàm số.

 

[tuyetnhung198]

Đúng đấy, Long ơi bạn làm sai rồi
Ai biết giải bài 1 chưa

 

[hocmai.toanhoc]

Mọi người giải hộ mình mấy bài này với nha:
1:[TEX]{Cho } \Delta ABC [/TEX] nhọn. CMR
[TEX]\frac{\cos^2 A}{\cos^2 \frac{A}{2}} + \frac{\cos^2 B}{\cos^2 \frac{B}{2}} + \frac{\cos^2 C}{\cos^2 \frac{C}{2}} \ge \ 1[/TEX]

Bạn ghi nhầm A , B , C rồi kìa . Mình đã sửa lại rồi .

[TEX]\frac{\cos^2 A}{\cos^2 \frac{A}{2}} + \frac{\cos^2 B}{\cos^2 \frac{B}{2}} + \frac{\cos^2 C}{\cos^2 \frac{C}{2}} = \frac{2cos^2A }{cosA+1}+ \frac{2cos^2B }{cosB+1}+ \frac{2cos^2C }{cosC+1} [/TEX]

Xét hàm số[TEX] f(x) = \frac{t^2}{t+1} [/TEX] với [TEX]t \geq 0[/TEX] (Do các góc đều nhọn nên Cos của nó > 0 )

[TEX]f'(x)= \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}> 0 \Rightarrow f(x)[/TEX] là hàm lõm

Áp dụng Jensen , ta có :

[TEX]f(A)+f(B)+f(C) \geq 3f(\frac{A+B+C}{3}) [/TEX]

hay [TEX]\frac{2cos^2A }{cosA+1}+ \frac{2cos^2B }{cosB+1}+ \frac{2cos^2C }{cosC+1} \geq 3\frac{cos^2{\frac{A+B+c}{3}}}{cos{\frac{A+B+C}{3}}+1} =1[/TEX] đpcm .

P/S : Bạn tuyetnhung198 cho mình xin cái nick yahoo để mình hỏi tý chuyện nhé

 

[tuyetnhung198]

Bạn ghi nhầm A , B , C rồi kìa . Mình đã sửa lại rồi .

[TEX]\frac{\cos^2 A}{\cos^2 \frac{A}{2}} + \frac{\cos^2 B}{\cos^2 \frac{B}{2}} + \frac{\cos^2 C}{\cos^2 \frac{C}{2}} = \frac{2cos^2A }{cosA+1}+ \frac{2cos^2B }{cosB+1}+ \frac{2cos^2C }{cosC+1} [/TEX]

Xét hàm số[TEX] f(x) = \frac{t^2}{t+1} [/TEX] với [TEX]t \geq 0[/TEX] (Do các góc đều nhọn nên Cos của nó > 0 )

[TEX]f'(x)= \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}> 0 \Rightarrow f(x)[/TEX] là hàm lõm

Áp dụng Jensen , ta có :

[TEX]f(A)+f(B)+f(C) \geq 3f(\frac{A+B+C}{3}) [/TEX]

hay [TEX]\frac{2cos^2A }{cosA+1}+ \frac{2cos^2B }{cosB+1}+ \frac{2cos^2C }{cosC+1} \geq 3\frac{cos^2{\frac{A+B+c}{3}}}{cos{\frac{A+B+C}{3}}+1} =1[/TEX] đpcm .

P/S : Bạn tuyetnhung198 cho mình xin cái nick yahoo để mình hỏi tý chuyện nhé

Cách bạn rất hay. Nhưng nó hình như hơi "chuyên". Có cách nào đơn giản hơn không

Tức là dùng những BĐT dễ chịu hơn ấy. Jen-sen hơi mạnh //

 

[hocmai.toanhoc]

Cách bạn rất hay. Nhưng nó hình như hơi "chuyên". Có cách nào đơn giản hơn không

Tức là dùng những BĐT dễ chịu hơn ấy. Jen-sen hơi mạnh //

Đối với những bài toán BDT mà các biến độc lập với nhau như thế kia thì Jensen có lẽ là BDT hay nhất để ta sử dụng . Jensen thực ra cũng không mạnh lắm . Nó dễ sử dụng , mà hiệu quả nhưng rất tiếc không được dùng trong thi đại học , cao đẳng .

Tìm lời giải khác cho bài toán trên thì phải nhờ các bạn khác thôi . Mình hơi yếu phần lượng giác vì chưa bao giờ đầu tư cho phần này