[Toán 12] Bất phương trình số mũ khó và hay

[cassakun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX](2Cos \frac{\pi}{7} - \frac{1}{2 Cos\frac{\pi}{7}})^x - (4Cos^2\frac{\pi}{7}-3)^x \leq1[/TEX]

 

[truongduong9083]

Để làm được bài này bạn chú ý
$cos\dfrac{\pi}{7} - cos\dfrac{2\pi}{7}+cos\dfrac{3\pi}{7} = \dfrac{1}{2}$
(Chứng minh nhân hai vế với $sin\dfrac{\pi}{7}$)
Nhân hai vế bất phương trình với $(cos\dfrac{\pi}{7})^x$ ta được
$$(cos\dfrac{2\pi}{7}+\dfrac{1}{2})^x-(cos\dfrac{3\pi}{7})^x \leq cos\dfrac{\pi}{7}$$
$$\Leftrightarrow (cos\dfrac{\pi}{7}+cos\dfrac{3\pi}{7})^x \leq(cos\dfrac{\pi}{7})^x +(cos\dfrac{3\pi}{7})^x$$
Đặt $a = cos\dfrac{\pi}{7}; b = cos\dfrac{3\pi}{7}$ bất phương trình trở thành
$$(a+b)^x \leq a^x+b^x$$
$$1\leq (\dfrac{a}{a+b})^x+(\dfrac{b}{a+b})^x$$
Đến đây dễ rồi bạn nhé

 

[cassakun]

Để làm được bài này bạn chú ý
$cos\dfrac{\pi}{7} - cos\dfrac{2\pi}{7}+cos\dfrac{3\pi}{7} = \dfrac{1}{2}$
(Chứng minh nhân hai vế với $sin\dfrac{\pi}{7}$)
Nhân hai vế bất phương trình với $(cos\dfrac{\pi}{7})^x$ ta được
$$(cos\dfrac{2\pi}{7}+\dfrac{1}{2})^x-(cos\dfrac{3\pi}{7})^x \leq cos\dfrac{\pi}{7}$$
$$\Leftrightarrow (cos\dfrac{\pi}{7}+cos\dfrac{3\pi}{7})^x \leq(cos\dfrac{\pi}{7})^x +(cos\dfrac{3\pi}{7})^x$$
Đặt $a = cos\dfrac{\pi}{7}; b = cos\dfrac{3\pi}{7}$ bất phương trình trở thành
$$(a+b)^x \leq a^x+b^x$$
$$1\leq (\dfrac{a}{a+b})^x+(\dfrac{b}{a+b})^x$$
Đến đây dễ rồi bạn nhé

Cảm ơn nhé! bài này phức tạp thật đấy. Mình chỉ để ý thấy hiệu hai cơ số của VT bằng 1 nhưng mà không áp dụng được gì cả.hxhx.
truongduong9083 làm kĩ hơn phần chứng minh $cos\dfrac{\pi}{7} - cos\dfrac{2\pi}{7}+cos\dfrac{3\pi}{7} = \dfrac{1}{2}$ này với.