Toán 12.Bất đẳng thức.

[chinhnhung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b,c thuộc [1/3 ; 3] CMR [TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX] [TEX]\geq\frac{7}{5}[/TEX]

 

[study_more_91]

cho a, b,c thuộc [1/3 ; 3] CMR [TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX] [TEX]\geq\frac{7}{5}[/TEX]

chẹp.
có 1 cách khá thô thiển là đạo hàm trâu bò lên ^o^.
Còn lời giải " chuẩn tắc" nè:
[TEX]bdt \Leftrightarrow \frac{1}{1+\frac{a}{b}} \geq \frac{7}{5}[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{\frac{a}{b}}=x, ...[/TEX]
tương tự có [TEX]y,z[/TEX]
[TEX]x,y,z \in [1/3 ; 3][/TEX]
[TEX]bdt \Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+x^2} \geq \frac{7}{5}[/TEX]
sử dụng bdt phụ
[TEX]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1} \geq \frac{2}{xy+1}=\frac{2}{\frac{1}{z}+1}[/TEX]
Cái này chứng minh thì quy đồng rồi trừ đi
nên
[TEX]VT \geq \frac{2}{\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{1+z^2}=f(z)[/TEX]
công việc còn lại là khảo sát [TEX]f(z)[/TEX] với [TEX]z \in [\frac{1}{3};3].[/TEX]

 

[chinhnhung]

đfsgđsg

chẹp.

sử dụng bdt phụ
[TEX]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1} \geq \frac{2}{xy+1}=\frac{2}{\frac{1}{z}+1}[/TEX]
Cái này chứng minh thì quy đồng rồi trừ đi

BĐT này bạn cm rõ xem nào
Hình như ko đúng

 

[study_more_91]

BĐT này bạn cm rõ xem nào
Hình như ko đúng

sr bài làm trên của mình đúng là ko đầy đủ.
bổ sung nè
giả sử [TEX]z[/TEX] min [TEX]{x,y,z}[/TEX]
[TEX]xyz=1[/TEX] nên [TEX]z \leq 1 \Rightarrow xy \geq 1[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}-2\frac{1}{xy+1} \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2(xy-1) \geq 0[/TEX]
ĐÚNG!

 

[tiendung2992]

sr bài làm trên của mình đúng là ko đầy đủ.
bổ sung nè
giả sử [TEX]z[/TEX] min [TEX]{x,y,z}[/TEX]
[TEX]xyz=1[/TEX] nên [TEX]z \leq 1 \Rightarrow xy \geq 1[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}-2\frac{1}{xy+1} \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2(xy-1) \geq 0[/TEX]
ĐÚNG!

Hay lắm bạn à . Nếu còn chưa hiểu , thì bạn tách cái
[TEX]\frac{2}{xy+1}[/TEX] thành [TEX]\frac{1}{xy +1} + \frac{1}{xy+1}[/TEX]
Sau đó xét hiệu cho từng cái nhé !

 

[chinhnhung]

cho a, b, c duơng và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
tìm min [TEX]\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4[/TEX]

 

[kieuoanh_victory]

Đáp trả...

ngĩ ha..............ha....................ha
chờ xem .....
Đợi chút...

 

[kieuoanh_victory]

Đáp trả...

cho a, b, c duơng và a^2+b^2+c^2=3
tìm min \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5} {a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4
GIẢI
theo BĐT Cô-si(!!!), ta có
a^5/(b^3+c^2) + (b^3+c^2)/4 +a^4/2\geq 3a^3/2
Và a^3+a^4+a^2\geq3a^2
C/m tt suy ra đáp án

 

[vodichhocmai]

cho a, b, c duơng và a^2+b^2+c^2=3
tìm min \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5} {a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4
GIẢI
theo BĐT Cô-si(!!!), ta có
a^5/(b^3+c^2) + (b^3+c^2)/4 +a^4/2\geq 3a^3/2
Và a^3+a^4+a^2\geq3a^2
C/m tt suy ra đáp án

Và [TEX]a^3+a^4+a^2\geq3a^2[/TEX]........................

 

[vodichhocmai]

cho a, b, c duơng và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
tìm min [TEX]T=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4[/TEX]

Dễ nhận thấy nếu [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX] thì:

[TEX]a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2 [/TEX]

[TEX]\rightarrow a^4+b^4+c^4\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4} [/TEX]

[TEX]T\ge \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4}[/TEX]

[TEX]T\ge \(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^3}{2}\)+\(\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^3+a^2}{4}+ \frac{b^3}{2} \)+\(\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^3+b^2}{4}+\frac{c^3}{2}\)[/TEX]

[TEX]\rightarrow T\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2} [/TEX]

[TEX]\rightarrow T\ge \frac{9}{2}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

cho a, b,c thuộc [TEX][1/3 ; 3][/TEX] CMR [TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{7}{5}[/TEX]

[TEX]gs:\ \ a=max\{a;b;c}[/TEX]

[TEX]f(a;b;c)-f(a;b;\sqrt{ab}\)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+ \frac{c}{c+a}-\frac{a}{a+b}- \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b)(b+c)}\ge 0\ \ (!)[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]f(a;b;\sqrt{ab})=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{2}{\sqrt{\frac{a}{b}}+1}[/TEX]

Xét hàm số :[TEX]y=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{7}{5}[/TEX] vơí [TEX]1\le x\le 3[/TEX]

[TEX]y=(4x^2-4x+2)(3-x)\ge 0\ \ (!!)[/TEX]

[TEX](!)&(!!)\Rightarrow (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]\blue Cho\ \ a,b,c>0\ \ &\ \ a.b.c=1\ \ CMR:\ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\ge 5[/TEX]