H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I - Bộ trội:
Cho hai bộ số thực dương bất kỳ $a=(a_1,a_2,...,a_n)$ và $b=(b_1,b_2,...,b_n)$
Ta nói $a$ trội hơn $b$ (giống sinh học quá
)), ký hiệu $a\succ b$ khi chúng thoả mãn cả 3 điều kiện sau:
(i) $a, b$ là hai bộ đơn điệu giảm.
(ii) $\sum\limits_{i=1}^{k} (a_i-b_i) \ge 0$ với mọi $k=1,2,3...,n-1$
(iii) $a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n$
II - Bất đẳng thức Muirhead:
Cho hai bộ số không âm $a=(a_1,a_2,...,a_n)$ và $b=(b_1,b_2,...,b_n)$ và các số thực $x_i>0$
Trung bình loại $[ a ]$ ký hiệu là $[ a ]=[a_1,a_2,...,a_n] = \sum\limits_{sym}x_1^{a_1}.x_2^{a_2}...x_n^{a_n}$
Khi đó $a\succ b \to [ a ]\ge [ b ]$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a\ne b$ và $x_1=x_2=...=x_n$
III - Ứng dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $x_1,x_2,...,x_n$ ta luôn có:
$$x_1+x_2+...+x_n \ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$
Lời giải:
Nếu tồn tại một $x_i=0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng nên ta xét khi tất cả là số dương.
Xét hai bộ số gồm $n$ phần tử $a=(1,0,0,...,0)$ và $b=\left(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n},...,\dfrac{1}{n}\right)$
Dễ thấy $a\succ b \to [ a ]\ge [ b ] \leftrightarrow x_1+x_2+...+x_n \ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$
Ví dụ 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$$
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với:
$$a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 \ge 6abc \leftrightarrow [2,1,0] \ge [1,1,1]$$
Bất đẳng thức đúng vì $(2,1,0) \succ (1,1,1)$
Ví dụ 3: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$$
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với:
$$2a(a+b)(a+c)+2b(b+c)(b+a)+2c(c+a)(c+b) \ge 3(a+b)(b+c)(c+a)\\
\leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+ca^2+ca^2\leftrightarrow [3,0,0]\ge [2,1,0]$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $(3,0,0)\succ (2,1,0)$
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm bất kỳ $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}+\dfrac{1}{(a+b)^2} \ge \dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}$$
Lời giải:
Quy đồng và khử mẫu:
$$4(ab+bc+ca)\left[(b+c)^2(c+a)^2+(c+a)^2(a+b)^2+(a+b)^2(b+c)^2 \right] \ge 9(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\\
\leftrightarrow \sum_{sym} (4a^5b-a^4b^2-3a^3b^3+a^4bc-2a^3b^2c+a^2b^2c^2)\ge 0$$
Áp dụng bất đẳng thức Schur:
$$abc(a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-b^2c-c^2a-ab^2-bc^2-ca^2) \ge 0 \leftrightarrow \sum\limits_{sym} (a^4bc-2a^3b^2c+a^2b^2c^2) \ge 0 $$
Ngoài ra $(5,1,0)\succ (4,2,0) \succ (3,3,0)$ nên $[5,1,0]\ge [4,2,0]$ và $[5,1,0] \ge [3,3,0]$ nên $\sum\limits_{sym} (4a^5b-a^4b^5-3a^3b^3) \ge 0$
Hoàn tất chứng minh.
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh:
$$\dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\dfrac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\dfrac{c^3}{(1+a)(1+b)} \ge \dfrac{3}{4}$$
Lời giải:
Viết lại bất đẳng thức:
$$4[4,0,0]+4[3,0,0]\ge [0,0,0]+3[1,0,0]+3[1,1,0]+[1,1,1]$$
Để ý nếu $x_1.x_2.....x_n=1$ thì $[a_1,a_2,...,a_n]=[a_1-r,a_2-r,...,a_n-r]$
Đo đó:
$$[4,0,0] \ge \left [\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3} \right ]=[0,0,0]$$$$3[4,0,0]\ge 3[2,1,1] = 3[1,0,0]$$$$3[3,0,0]\ge 3 \left [\dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3} \right ] =3[1,1,0] $$$$[3,0,0] \ge [1,1,1] $$
Cộng tất cả các bất đẳng thức lại cho ta điều phải chứng minh.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ có tích bằng $1$ thì ta luôn có:
$$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2+7bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2+7ca+a^2}}\ge 1$$
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc\ge 1$ ta luôn có:
$$\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{b^5-c^2}{b^5+c^2+a^2}+\dfrac{c^5-a^2}{c^5+a^2+b^2} \ge 0$$
Hướng dẫn bài 3: Nếu $x_1x_2...x_n\ge 1$ thì $[a_1,a_2,...,a_n]\ge [a_1-r,a_2-r,...,a_n-r]$ trong đó $r\ge 0$
Thanks for reading!
Cho hai bộ số thực dương bất kỳ $a=(a_1,a_2,...,a_n)$ và $b=(b_1,b_2,...,b_n)$
Ta nói $a$ trội hơn $b$ (giống sinh học quá
)), ký hiệu $a\succ b$ khi chúng thoả mãn cả 3 điều kiện sau:(i) $a, b$ là hai bộ đơn điệu giảm.
(ii) $\sum\limits_{i=1}^{k} (a_i-b_i) \ge 0$ với mọi $k=1,2,3...,n-1$
(iii) $a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n$
II - Bất đẳng thức Muirhead:
Cho hai bộ số không âm $a=(a_1,a_2,...,a_n)$ và $b=(b_1,b_2,...,b_n)$ và các số thực $x_i>0$
Trung bình loại $[ a ]$ ký hiệu là $[ a ]=[a_1,a_2,...,a_n] = \sum\limits_{sym}x_1^{a_1}.x_2^{a_2}...x_n^{a_n}$
Khi đó $a\succ b \to [ a ]\ge [ b ]$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a\ne b$ và $x_1=x_2=...=x_n$
III - Ứng dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $x_1,x_2,...,x_n$ ta luôn có:
$$x_1+x_2+...+x_n \ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$
Lời giải:
Nếu tồn tại một $x_i=0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng nên ta xét khi tất cả là số dương.
Xét hai bộ số gồm $n$ phần tử $a=(1,0,0,...,0)$ và $b=\left(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n},...,\dfrac{1}{n}\right)$
Dễ thấy $a\succ b \to [ a ]\ge [ b ] \leftrightarrow x_1+x_2+...+x_n \ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$
Ví dụ 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$$
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với:
$$a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 \ge 6abc \leftrightarrow [2,1,0] \ge [1,1,1]$$
Bất đẳng thức đúng vì $(2,1,0) \succ (1,1,1)$
Ví dụ 3: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$$
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương với:
$$2a(a+b)(a+c)+2b(b+c)(b+a)+2c(c+a)(c+b) \ge 3(a+b)(b+c)(c+a)\\
\leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+ca^2+ca^2\leftrightarrow [3,0,0]\ge [2,1,0]$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $(3,0,0)\succ (2,1,0)$
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm bất kỳ $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}+\dfrac{1}{(a+b)^2} \ge \dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}$$
Lời giải:
Quy đồng và khử mẫu:
$$4(ab+bc+ca)\left[(b+c)^2(c+a)^2+(c+a)^2(a+b)^2+(a+b)^2(b+c)^2 \right] \ge 9(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\\
\leftrightarrow \sum_{sym} (4a^5b-a^4b^2-3a^3b^3+a^4bc-2a^3b^2c+a^2b^2c^2)\ge 0$$
Áp dụng bất đẳng thức Schur:
$$abc(a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-b^2c-c^2a-ab^2-bc^2-ca^2) \ge 0 \leftrightarrow \sum\limits_{sym} (a^4bc-2a^3b^2c+a^2b^2c^2) \ge 0 $$
Ngoài ra $(5,1,0)\succ (4,2,0) \succ (3,3,0)$ nên $[5,1,0]\ge [4,2,0]$ và $[5,1,0] \ge [3,3,0]$ nên $\sum\limits_{sym} (4a^5b-a^4b^5-3a^3b^3) \ge 0$
Hoàn tất chứng minh.
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh:
$$\dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\dfrac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\dfrac{c^3}{(1+a)(1+b)} \ge \dfrac{3}{4}$$
Lời giải:
Viết lại bất đẳng thức:
$$4[4,0,0]+4[3,0,0]\ge [0,0,0]+3[1,0,0]+3[1,1,0]+[1,1,1]$$
Để ý nếu $x_1.x_2.....x_n=1$ thì $[a_1,a_2,...,a_n]=[a_1-r,a_2-r,...,a_n-r]$
Đo đó:
$$[4,0,0] \ge \left [\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3} \right ]=[0,0,0]$$$$3[4,0,0]\ge 3[2,1,1] = 3[1,0,0]$$$$3[3,0,0]\ge 3 \left [\dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3} \right ] =3[1,1,0] $$$$[3,0,0] \ge [1,1,1] $$
Cộng tất cả các bất đẳng thức lại cho ta điều phải chứng minh.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ có tích bằng $1$ thì ta luôn có:
$$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2+7bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2+7ca+a^2}}\ge 1$$
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc\ge 1$ ta luôn có:
$$\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{b^5-c^2}{b^5+c^2+a^2}+\dfrac{c^5-a^2}{c^5+a^2+b^2} \ge 0$$
Hướng dẫn bài 3: Nếu $x_1x_2...x_n\ge 1$ thì $[a_1,a_2,...,a_n]\ge [a_1-r,a_2-r,...,a_n-r]$ trong đó $r\ge 0$
Thanks for reading!
Last edited by a moderator: