Toán 12: bài toán tiếp tuyến

lehongcongxx · 12 Tháng tám 2010

đố bạn nào giải đc bài này nhá
Cho hàm số y=(x+m)/(x-2) .
tìm m sao cho từ A(0;-1) kẻ đc 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị hàm số (B,C là tiếp điểm )
biết tam giác ABC đều.

l

hieudieucay · 13 Tháng tám 2010

mình làm thử nếu sai thì đừng cười

gọi pt (d) đi qua A(0;-1) là y= kx -1
ĐK để (d) là tiếp tuyến của (C) k-1=(x+m)/(x-2)
Và k=(-2-m)/(x-2)^2
để có 2 tiếp tuyến AB, AC thì hệ trên phải có 2 nghiệm
\Rightarrowpt x^2 -(2-m)x +2-m =0 phải có 2 nghiệm phân biệt
\Rightarrowdelta >0 \Rightarrowm>2 hoặc m<-2
Giả sử pt có 2 nghiệm là x1,x2
\Rightarrow B(x1,y1) C(x2,Y2)
\Rightarrowtam giác ABC đều \Leftrightarrow AB=AC Và góc BAC =60
\RightarrowCứ giải thì sẽ ra

phamduyquoc0906 · 13 Tháng tám 2010

lehongcongxx said:
đố bạn nào giải đc bài này nhá
Cho hàm số y=x+m/x-2 .
tìm m sao cho từ A(0;-1) kẻ đc 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị hàm số (B,C là tiếp điểm )
biết tam giác ABC đều.

Phương trình đường thẳng [TEX](d)[/TEX] qua [TEX]A(0,-1)[/TEX] có hệ số góc[TEX] k :y=kx-1[/TEX]
[TEX](d)[/TEX] tiếp xúc [TEX](C)[/TEX] khi hệ sau có nghiệm (sử dụng http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=110994&page=3 )
[TEX]\left{x^2-2x+m=(x-2)(kx-1)\\2x-2=k(x-2)+kx-1\\x\neq2[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{x^2-2x+m=(x-2)[2x-2-k(x-2)]\\2(x-2)+2=2k(x-2)+2k-1\\x\neq2[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{(x-2)^2(1-k)=m\\x-2=\frac{2k-3}{2(1-k)}(1)\\x\neq2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{\left{4k^2-2(6-2m)k+9-4m=0(2)\\k\neq1[/TEX]
Để vẽ được hai tiếp tuyến thì [TEX](2)[/TEX] phải có hai nghiệm phân biệt khác [TEX]1,\ \ k_1,k_2[/TEX][TEX]\ \ \ \Leftrightarrow{4m^2-8m>0\Leftrightarrow{\left[m<0\\m>2 (3)[/TEX]
Để tam giác [TEX]ABC[/TEX] đều thì điều kiện cần là góc [TEX]BAC=60^0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=tg60^0=\sqrt3[/TEX][TEX]\ \ \ (k_1>k_2)[/TEX]
thay [TEX]k_1-k_2=\frac{\sqrt{4m^2-8m}}{2},\ \ k_1k_2=\frac{9-4m}{4}[/TEX][TEX]\Rightarrow{m=\frac{140-\sqrt{3376}}{32}[/TEX](thỏa [TEX](3)[/TEX])

Với giá trị [TEX]m [/TEX]này ta thay vào [TEX](2)[/TEX] tìm được [TEX]k_1,k_2[/TEX],thế vào [TEX](1)[/TEX] ta sẽ được hai tiếp điểm [TEX]B,C[/TEX]
Ta sẽ kiểm tra điều kiện đủ để tam giac [TEX]ABC[/TEX] đều là :[TEX]AB=AC[/TEX] nếu thõa thì nhận giá trị[TEX] m[/TEX] này còn không thì kết luận không có [TEX]m[/TEX] nào thõa mãn.

Bài bạn cho số liệu qúa xấu nếu không thì cũng là bài bình thường thôi.Bạn đánh đố mọi người vậy bạn hãy trình bày cách giải của bạn đi nhé!

phamduyquoc0906 · 13 Tháng tám 2010

+Nếu hàm số của bạn là :[TEX]y=\frac{x+m}{x-2}[/TEX] thì cũng làm tương tự thôi nhưng đơn giản hơn nhiều.Ở trên mình giải với hàm số [TEX]y=x+\frac{m}{x-2}[/TEX]

+Bạn ghi không [TEX]latex[/TEX] không biết là hàm nào,mình giải theo hàm khó hơn luôn đó

toi_yeu_viet_nam · 14 Tháng tám 2010

có bài này!moị người giúp nha

Cho hàm số:

[TEX]y=f(x)=\frac{mx^2+(2-m^2)x-2m-1}{x-m}[/TEX]

Tìm m để hàm số có cực trị
CMR với m đó luôn tìm đc trên (Cm) 2 điểm sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm này là _|_ nhau

lehongcongxx · 14 Tháng tám 2010

giải sai rồi
Pt này phải có 2 nghiệm phân biệt này x2+(m-2)x-(m-2)=0
Sau đó tìm VTPT của AB&AC là (k1;-1) (k2:-1)[k1;k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại B và C]
Sử dụng góc giữa 2 vecto =60*+hệ thức viet nữa thì tìm đc m
Cuối cùng thư lại xem giá trị nào của m thoả mãn AB=AC thì lấy
Kết quả là m =+-4.Số đẹp đấy

pluto168 · 14 Tháng tám 2010

1/DK: x #m
y'=(2mx+2-m^2)(x-m)-mx^2-(2-m^2)x+2m+1/(x-m)^2
=mx^2-2m^2x+m^3+1/(x-m)^2 = g(x)
De hs co cuc tri thi y'=0 co 2 nghiem pham biet # m

\Leftrightarrow delta'>0
g(x)#m

\Leftrightarrow m^4-m^4-m>0
m^3 -2m^3 +1#0

\Leftrightarrow m<0
m#1/can 3

Goi (d) la tt cua (C) \Rightarrow (d) co hsg :k=y'
2/De thoa de bai thi y'=0 phai co 2 nghiem phan biet x1,x2 va x1,x2 thoa : k(x1).k(x2)=-1
....................................
Toi day ban lam tiep nha bay gio co viec phai di!

toi_yeu_viet_nam · 14 Tháng tám 2010

2/De thoa de bai thi y'=0 phai co 2 nghiem phan biet x1,x2 va x1,x2 thoa : k(x1).k(x2)=-1

2/De thoa de bai thi y'=0 phai co 2 nghiem phan biet x1,x2 va x1,x2 thoa : k(x1).k(x2)=-1

thử đi bạn ơi!vừa to vừa dài vừa khó tìm khó bởi chỗ đừng nhầm x1,x2 là hoành độ điểm cực trị==> ko viet đc==>.khá vất vả nên còn cao thủ nào júp mình đi

phamduyquoc0906 · 15 Tháng tám 2010

toi_yeu_viet_nam said:
có bài này!moị người giúp nha
Cho hàm số:

[TEX]y=f(x)=\frac{mx^2+(2-m^2)x-2m-1}{x-m}[/TEX]

Tìm m để hàm số có cực trị
CMR với m đó luôn tìm đc trên (Cm) 2 điểm sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm này là _|_ nhau

mình mới hỏi thì được cách giải thế này ,các bạn xem thử nha

[TEX]y=mx+2-\frac{1}{x-m}\Rightarrow{y^'=m+\frac{1}{(x-m)^2[/TEX]

Để hàm số có cực trị thì :[TEX]m<0[/TEX]

[TEX]A,B\in{(C)}\Rightarrow{A(m+a,y_A),B(m+b,y_B)\ \ (a,b\neq0,a\neq{b)[/TEX]

[TEX]y^'(m+a).y^'(m+b)=-1(1)\Leftrightarrow{(m+\frac{1}{a^2})(m+\frac{1}{b^2})=-1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{m^2+(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})m+\frac{1}{a^2b^2}+1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{-\frac{1}{a^2b^2}-1=m^2+(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})m=f(m)(m<0)[/TEX][TEX]\Rightarrow{-\frac{1}{a^2b^2}-1\ge{-\frac{1}{4}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})^2[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})^2\ge4\ \ \forall{m<0[/TEX][TEX](2)[/TEX]

Từ đó ta có thể suy ra với mỗi cặp [TEX]a,b [/TEX] thoả [TEX](2)[/TEX] luôn tồn tại ít nhất một giá trị [TEX]m<0[/TEX] để[TEX] (1) [/TEX]xảy ra hay nói cách khác với mỗi giá trị [TEX]m<0 [/TEX]luôn tồn tại nhiều cặp [TEX]a,b(a\neq{b\neq0)[/TEX] để [TEX](1)[/TEX] xảy ra (đpcm)

phamduyquoc0906 · 16 Tháng tám 2010

Bài này có thêm một cách nữa mà thấy dài quá nhưng tập biến đổi cho quen
,ý tưởng là ta chứng minh với [TEX]m<0[/TEX] tồn tại điểm [TEX]M[/TEX] sao cho qua [TEX]M[/TEX] có thể kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Phương trình đường thẳng qua[TEX] M(a,b) [/TEX]có hệ số góc [TEX]k :y=k(x-a)+b[/TEX]
[TEX](d)[/TEX] tiếp xúc với [TEX](C) [/TEX]khi hệ sau có nghiệm:

[TEX]\left{\frac{mx^2+(2-m^2)x-2m-1}{x-m}=k(x-a)+b\\\frac{[2mx+(2-m^2)][x-m]-(mx^2+(2-m^2)x-2m-1)}{x-m}=k(x-m)[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{2mx+2-m^2-k(x-a)-b=k(x-m)\\mx^2-2m^2x+m^3+1=k(x-m)^2\\x\neq{m[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{\left{x-m=\frac{(a-m)k+m^2+2-b}{2(k-m)\\(x-m)^2(k-m)=1\\x\neq{m[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{(a-m)^2k^2+[2(a-m)(m^2+2-b)-4]k+(m^2+2-b)^2+4m=0\\k\neq{m[/TEX]
Để kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì :
[TEX]\left{\frac{(m^2+2-b)^2+4m}{(a-m)^2}=-1\\a\neq{m}\\(a-m)^2m^2+2(a-m)(m^2+2-b)m+(m^2+2-b)^2\neq0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{(a-m)^2+(b-2-m^2)^2=-4m\\a\neq{m}\\am-b+2\neq0[/TEX]

Vậy với [TEX]m<0[/TEX] thì tập hợp điểm [TEX]M [/TEX]là một đường tròn [TEX](C^') :(x-m)^2+(y-2-m^2)^2=-4m[/TEX] bỏ ra các giao điểm của [TEX](C^')[/TEX] và hai đường thẳng [TEX]x=m[/TEX] và [TEX]mx-y+2=0[/TEX]
Hay nói cách khác trên [TEX](C)[/TEX] luôn tồn tại rất nhiều cặp điểm mà tiếp tuyến tại cặp điểm đó vuông góc với nhau với mọi [TEX]m<0[/TEX]