[Toán 12] Bài toán phụ khảo sát hàm số

[tuyn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho [TEX](C): y=x^3-3x^2+2[/TEX]. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho tứ giác AMBN là hình thoi.

 

[tbinhpro]

Cho [TEX](C): y=x^3-3x^2+2[/TEX]. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho tứ giác AMBN là hình thoi.

Ta có:
[TEX]y'=3x^2-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left{\begin{x=0}\\{x=2}[/TEX]
Suy ra 2 điểm cực trị là [TEX]A(0,2),B(2,-2)[/TEX]
Lấy y chia cho y' ta được phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là:[TEX]y=-2x+2[/TEX]
Phương trình đường thẳng d có dạng:[TEX]y=ax+b[/TEX]
Gọi I là trung điểm của đoạn AB.Suy ra [TEX]I(1,0)[/TEX]
Để tứ giác AMBN là hình thoi thì:
[TEX]\left{\begin{d\perp AB}\\{I\in d[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{-2.a=-1}\\{a+b=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{-1}{2}[/TEX]
Do đó phương trình của đường thẳng d là [TEX]y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}[/TEX]
Thử lại vào phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) nếu d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt,trong đó có 2 điểm M,N nằm về 2 phía của đường thẳng AB và IM=IN là được .
A tuyn xem dùm liệu có sai sót chỗ nào không nhé!

Nếu đề bài yêu cầu d chỉ cắt tại 2 điểm thì chắc chắn không có đường thẳng nào thoả mãn cả.

 

[hn3]

Tớ làm cách này được không :-/

Tính đạo hàm y' của y ; cho = 0 ; ra 2 điểm cực trị là A và B
Dễ dàng viết được véc tơ AB ; véc tơ AB sẽ là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) (d qua M và N)
Mà 2 đường chéo AB và MN của hình thoi giao nhau ở 1 điểm cũng là trung điểm mỗi đường , 2 đường chéo vuông góc luôn . Do đó viết được tọa độ điểm I nằm trên MN theo công thức tính tọa độ trung điểm ( từ 2 điểm A và B )
Biết điểm I thuộc MN ( tức là thuộc d) , biết véc tơ pháp tuyến của d ( là véc tơ AB ) , dễ dàng viết được phương trình của (d)
:-/

 

[tuyn]

Bài 2: Tìm toạ độ 2 điểm B,C thuộc hai nhánh của đồ thị [TEX](C): y= \frac{3x-1}{x-1}[/TEX] sao cho tam giác ABC vuông cân tại A với A(2;1)

 

[hocmai.toanhoc]

Bài 2: Tìm toạ độ 2 điểm B,C thuộc hai nhánh của đồ thị [TEX](C): y= \frac{3x-1}{x-1}[/TEX] sao cho tam giác ABC vuông tại A với A(2;1)

Chào em!
Em xem lại đề bài có nhầm không?
Tìm tọa độ 2 điểm B, C tức là 2 ẩn mà đề chỉ cho 1 dự kiện là tam giác ABC vuông tại A thì không thể giải được.

 

[tbinhpro]

Bài 2: Tìm toạ độ 2 điểm B,C thuộc hai nhánh của đồ thị [TEX](C): y= \frac{3x-1}{x-1}[/TEX] sao cho tam giác ABC vuông cân tại A với A(2;1)

Thui thì xem cho em xơi thử bài này lun nhé!
Tiệm cận đứng x=1,tiệm cận ngang y=3.
Gọi hoành độ 2 điểm B,C thuộc đồ thị (C) cần tìm là:[TEX]1-b[/TEX] và [TEX]1+c[/TEX] (Với [TEX]b,c>0[/TEX])
Ta có:
+Toạ độ của điểm B là:[TEX]B(1-b,\frac{2-3b}{2-b})[/TEX]
Toạ độ của điểm C là:[TEX]C(1+c,\frac{2+3c}{c})[/TEX]
+[TEX]\vec{\text{BA}}=(1+b,\frac{2b}{2-b})[/TEX] và [TEX]\vec{\text{CA}}=(1-c,\frac{-2-c}{c})[/TEX]
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi:
[TEX]\left{\begin{AB=AC}\\{\vec{\text{BA}}. \vec{\text{CA}}=0[/TEX]
[TEX]\left{\begin{(1+b)^{2}+\frac{4b^{2}}{(2-b)^{2}}=(1-c)^{2}+\frac{(2+c)^{2}}{c^2}}\\{(1+b)(1-c)+\frac{2b(-2-b)}{c(2-b)}=0[/TEX]
Giải hệ phương trình 2 ẩn này chắc là ra.Em ngại làm quá! Hj2!Tối em đưa kết quả sau vậy.

 

[tuyn]

Thui thì xem cho em xơi thử bài này lun nhé!
Tiệm cận đứng x=1,tiệm cận ngang y=3.
Gọi hoành độ 2 điểm B,C thuộc đồ thị (C) cần tìm là:[TEX]1-b[/TEX] và [TEX]1+c[/TEX] (Với [TEX]b,c>0[/TEX])
Ta có:
+Toạ độ của điểm B là:[TEX]B(1-b,\frac{2-3b}{2-b})[/TEX]
Toạ độ của điểm C là:[TEX]C(1+c,\frac{2+3c}{c})[/TEX]
+[TEX]\vec{\text{BA}}=(1+b,\frac{2b}{2-b})[/TEX] và [TEX]\vec{\text{CA}}=(1-c,\frac{-2-c}{c})[/TEX]
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi:
[TEX]\left{\begin{AB=AC}\\{\vec{\text{BA}}. \vec{\text{CA}}=0[/TEX]
[TEX]\left{\begin{(1+b)^{2}+\frac{4b^{2}}{(2-b)^{2}}=(1-c)^{2}+\frac{(2+c)^{2}}{c^2}}\\{(1+b)(1-c)+\frac{2b(-2-b)}{c(2-b)}=0[/TEX]
Giải hệ phương trình 2 ẩn này chắc là ra.Em ngại làm quá! Hj2!Tối em đưa kết quả sau vậy.

Giải cái này xong chắc xỉu luôn
Anh giải cách này rồi khó lắm

 

[tbinhpro]

Về nhà lại nghĩ thêm được 1 cách giải mới hay hơn cách này nhiều.Mọi người cùng tham khảo nhé!
Gọi [TEX]B(x_{B},y_{B}),C(x_{C},y_{C})(x_{C}>1>x_{B})[/TEX]
E,F lần lượt là các chân đường cao hạ từ B,C xuống đường thẳng [TEX]y=1[/TEX]
Ta có:
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi:[TEX]\left{\begin{AB=AC}\\{\widehat{CAF}+\widehat{BAE}=90[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]Tam giác vuông CFA bằng tam giác vuông ABE.
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{BE=AF}\\{EA=CF[/TEX]
[TEX]\left{\begin{\mid\ x_{C}-2 \mid\ = \mid\ y_{B}-1\mid\ \\ \mid\ x_{B}-2 \mid\ = \mid\ y_{C}-1\mid\[/TEX]
Dựa vào đồ thị ta có:
[TEX]\left{\begin{x_{C}>2}\\{y_{C}>1}\\{y_{B}>1}\\{x_{B}<2[/TEX]
Suy ra:
[TEX]\left{\begin{x_{C}-2= y_{B}-1} \\ {2-x_{B} = y_{C}-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x_{C}=\frac{4x_{B}-2}{x_{B}-1}(1)}\\{x_{B}=\frac{-2}{x_{C}-1}(2)[/TEX]
Thay (2) vào (1) được phương trình rút gọn là:
[TEX]x_{C}=\frac{6+2x_{B}}{1+x_{B}}\Leftrightarrow \left[\begin{x_{C}=3(TM)}\\{x_{C}=-2(Loai)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_{B}=-1[/TEX]
Vậy 2 điểm B,C cần tìm có toạ độ là:[TEX]B(-1,2) And C(3,4)[/TEX]
Hai điểm này vai trò như nhau nên có thể đổi toạ độ cũng được.

 

[taphuongnam]

Về nhà lại nghĩ thêm được 1 cách giải mới hay hơn cách này nhiều.Mọi người cùng tham khảo nhé!
Gọi [TEX]B(x_{B},y_{B}),C(x_{C},y_{C})(x_{C}>1>x_{B})[/TEX]
E,F lần lượt là các chân đường cao hạ từ B,C xuống đường thẳng [TEX]y=1[/TEX]
Ta có:
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi:[TEX]\left{\begin{AB=AC}\\{\widehat{CAF}+\widehat{BAE}=90[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]Tam giác vuông CFA bằng tam giác vuông ABE.
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{BE=AF}\\{EA=CF[/TEX]
[TEX]\left{\begin{\mid\ x_{C}-2 \mid\ = \mid\ y_{B}-1\mid\ \\ \mid\ x_{B}-2 \mid\ = \mid\ y_{C}-1\mid\[/TEX]
Dựa vào đồ thị ta có:
[TEX]\left{\begin{x_{C}>2}\\{y_{C}>1}\\{y_{B}>1}\\{x_{B}<2[/TEX]
Suy ra:
[TEX]\left{\begin{x_{C}-2= y_{B}-1} \\ {2-x_{B} = y_{C}-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x_{C}=\frac{4x_{B}-2}{x_{B}-1}(1)}\\{x_{B}=\frac{-2}{x_{C}-1}(2)[/TEX]
Thay (2) vào (1) được phương trình rút gọn là:
[TEX]x_{C}=\frac{6+2x_{B}}{1+x_{B}}\Leftrightarrow \left[\begin{x_{C}=3(TM)}\\{x_{C}=-2(Loai)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_{B}=-1[/TEX]
Vậy 2 điểm B,C cần tìm có toạ độ là:[TEX]B(-1,2) And C(3,4)[/TEX]
Hai điểm này vai trò như nhau nên có thể đổi toạ độ cũng được.

Liệu có chứng minh được là BC luôn đi qua tâm đối xứng không nhi? nếu vậy sẽ làm rất nhanh và dễ hiểu