[Toán 12] Bài toán khoảng cách

[tkb2013]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C): $y = \dfrac{4x-9}{x-3}$ các điểm $M_1, M_2$ sao cho độ dài $M_1M_2$ ngắn nhất.

 

[truongduong9083]

Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số $y = \dfrac{4x - 9}{x-3} (C)$ các điểm $M_1; M_2$ để độ dài $M_1M_2$ là nhỏ nhất.

$\bullet$ $y = \dfrac{4x - 9}{x-3} = 4+\dfrac{3}{x-3}$
Gọi $M_1(x_1; y_1); M_2(x_2;y_2)$ là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (Với $x_1<3<x_2$)
Đặt $x_1 = 3 - a; x_2 = 3+b$ ($a,b > 0$) $\Rightarrow y_1 = 4 - \dfrac{3}{a}; y_2 = 4 + \dfrac{3}{a}$
Vậy $M_1M_2^2 = (a+b)^2+(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b})^2 = (a+b)^2[1+\dfrac{9}{a^2b^2}] \geq 24$
$\Rightarrow Min M_1M_2 = 2\sqrt{6}$ khi $a = b = \sqrt{3}$
$\bullet$ Tọa độ các điểm thỏa mãn bài toán là: $M_1(3-\sqrt{3}; 4-\sqrt{3})$ và $M_2(3+\sqrt{3}; 4+\sqrt{3})$