[toán 12] bài toán cực trị trog ko jan

D

dhg22adsl

duy_vip said:
trog ko jan Oxyz cho điểm A(1,2,4) và đường thẳng (d) [TEX]\frac{x-1}{-1}[/TEX] = [TEX]\frac{y+2}{1}[/TEX] = [TEX]\frac{z}{2}[/TEX]
viết pt mq (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới (P) lớn nhất:confused::confused::confused:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

lấy hai điểm thuộc (d)

M(1; - 2;0),N(0; - 1;2)

gọi (P):

[TEX]\begin{array}{l}x + ay + bz + c = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}1 - 2a + c = 0 \\ - a + b + c = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2a - 1 \\ b = \frac{{1 - a}}{2} \\ \end{array} \right. \\ x + ay + \frac{{1 - a}}{2}z + 2a - 1 = 0 \\ d(M,(p)) = \frac{{\left| {1 + 2a + 2(1 - a) + 2a - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{{(a - 1)}^2}}}{4}} }} = \frac{{4\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {5{a^2} - 2a + 5} }} = 4\sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{5{a^2} - 2a + 5}}} \\ k = \frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{5{a^2} - 2a + 5}} \Leftrightarrow (5k - 1){a^2} - 2(k - 1)a + 5k - 1 = 0 \\ \Delta ' = {(k - 1)^2} - {(5k - 1)^2} = {k^2} - 2k + 1 - (25{k^2} - 10k + 1) = - 24{k^2} + 8k \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{1}{3} \\ k = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{5{a^2} - 2a + 5}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{2}{3}{a^2} + \frac{4}{3}a + \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow a = - 1 \\ d(M,(p)) = 4\sqrt k \\ \end{array}[/TEX]

[TEX]d(M,(p))[/TEX] lớn nhất bằng [TEX]\frac{{4\sqrt 3 }}{3}[/TEX] khi a=-1

hay d(M,(p)) lớn nhất khi (P) là : x - y + z - 3 = 0
 
Last edited by a moderator:
N

nhan9610

duy_vip said:
trog ko jan Oxyz cho điểm A(1,2,4) và đường thẳng (d) [TEX]\frac{x-1}{-1}[/TEX] = [TEX]\frac{y+2}{1}[/TEX] = [TEX]\frac{z}{2}[/TEX]
viết pt mq (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới (P) lớn nhất:confused::confused::confused:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
gọi A' là hình chiếu của A trên d
=> AA' là khoảng cách từ A đến d
(Q) là mp cần tìm, gọi H là hình chiếu của A trên (Q)
=> AH là khoảng cách từ A đến (Q)
AH vuông góc với (Q)
=> AH vuông góc với AA'
=> tam giác AHA' vuông tại H
=> AH =< AA'
=> AH lớn nhất khi và chỉ khi AH = AA'
<=> H trùng A'
<=> (Q) là mp qua d và có vecto phap tuyen là AA'
=> pt mp(Q) cần tìm: x + y + 1 = 0
(cách tìm tọa độ A':
- lập pt mp (R) qua A và vuông góc với d
- tìm giao điểm của (R) và d: A')
chúc em thành công.
 
C

canhdong_binhyen

pp giải tik
đặt (P) Ax+By+Cz+D=0 ([TEX]A^2+B^2+C^2[/TEX] #0)
chọn M(1,-2,0) &N (0,-1,2) thuộc (d)=>M,N thuộc (P)
ta dc hệ A-2B+D=0
..............-B+2C+D=0
<=>D=-A+2B
......C=[TEX]\frac{A-B}{2}[/TEX]
do đó (P):[TEX]Ax+By+ \frac{A-B}{2}z -A+2B=0[/TEX]
ta có d(A,(P)):[TEX]\frac{2|A+5B|}{\sqrt{5A^2+5B^2-2AB}[/TEX] (1)
ta xét các TH
TH1 A=0 ta dc[TEX] d=\{2|5B|}{\sqrt{5B^2}=2\sqrt{5}[/TEX]
TH2 A#0 ta dc
chia tử và mẫu của (1) cho A và đặt B/A=x ta dc
[TEX]\frac{2|1+5x|}{\sqrt{5+5x^2-2x} [/TEX]
ta dc [TEX]d^2=\frac{4(25x^2+10x+1}{5x^2-2x+5}[/TEX] đạt max là 35/6 khi x=13/5
max [TEX]d^2[/TEX]=4(35/6)=>max d= [TEX]\sqrt {70/3}[/TEX]
khi x=B/A=13/5
chọn TH(2) vì [TEX]\sqrt{70/3}>2 \sqrt{5}[/TEX]
chọn A=5,B=13,C=-4,D=21
=>PT 5x+13y-4z+21=0
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom