[Toán 12] Bài tập về Thể tích khối đa diện

[thuypro94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho khối hộp chữ nhật [TEX]ABCB.A_1B_1C_1D_1[/TEX] có 3 kích thước

[TEX]AB=a \ ; AD =b \ ; AA_1=c \ ; d=d_{(AC;BC_1)}[/TEX]. Biết [TEX]a;b;c;d \in \ N^*[/TEX]. Tìm [TEX]a;b;c;d[/TEX]để [TEX]V_{min}[/TEX]

Bài 2: Cho tứ diện ABDC có 1 cạnh lớn hơn a; các cạnh khác \leq a .

[TEX]C/mr : \ V_{tu \ dien } \ \leq \ \frac{a^3}{8}[/TEX]

Nói rõ phần định hướng làm nhé các cậu ^^

 

[tuyn]

Bài 1: Cho khối hộp chữ nhật [TEX]ABCB.A_1B_1C_1D_1[/TEX] có 3 kích thước

[TEX]AB=a \ ; AD =b \ ; AA_1=c \ ; d=d_{(AC;BC_1)}[/TEX]. Biết [TEX]a;b;c;d \in \ N^*[/TEX]. Tìm [TEX]a;b;c;d[/TEX]để [TEX]V_{min}[/TEX]

Dễ thấy rằng [TEX](ACD_1)//(A_1BC_1) \Rightarrow d=d(AC,BC_1)=d((ACD_1),(A_1BC_1))[/TEX]
Dễ CM được 2 mặt phẳng [TEX](ACD_1),(A_1BC_1)[/TEX] cắt [TEX]DB_1[/TEX] thành 3 phần có độ dài bằng nhau( giả sử cắt tại H,K)
\Rightarrow [TEX]HK \geq d(AC,BC_1)=d((ACD_1),(A_1BC_1))=d[/TEX]
Ta có: [TEX]HK= \frac{1}{3}BD_1= \frac{1}{3} \sqrt{a^2+b^2+c^2}[/TEX] ( dễ dàng tính được)
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9d^2 \geq 9 (do: d \geq 1)[/TEX]
Mà [TEX]V=V_{ABCD.A_1B_1C_1D_1}=abc[/TEX] nên V min khi a,b,c min \Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2=9(1)[/TEX]
Vì a,b,c thuộc N\{0} nên (a;b;c) là các hoán vị của bộ 3 số (1;2;2)
Vậy MinV=4 khi (a;b;c) là hoán vị của bộ 3 số (1;2;2) và d=1

 

[thuypro94]

Cách Thầy tớ giải như sau :

[TEX]d =d(AC,BC_1)=d(B;(ACD_1) = d(D;(ACD_1)[/TEX]

[TEX] => \ V_{(D.ACD_1)}= \frac13 abc [/TEX] => ..........


[TEX] => \ \frac{1}{d^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX]

=> Bài toán phụ :

[TEX]\left{\begin{a;b;c;d \ \in\ N^*}\\{\frac{1}{d^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}} [/TEX]

Tìm : [TEX]a;b;c;d [/TEX] để [TEX] V={abc}_{min}[/TEX]

Rồi sau đó đưa về bài Min, Max mà đến đây thì :-S Thầy tớ giải thiếu tự nhiên tý Xem hộ tớ bài toán phụ ntn ?