[Toán 11]

[vuonghongtham07]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y,z thuộc [0;1]
Tìm Max $P= \sqrt{xyz}+ \sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}$
2. Cho x,y,z,t >0 thỏa mãn:
$$\frac{1}{1+x^4}+\frac{1}{1+y^4}+\frac{1}{1+z^4}+\frac{1}{1+t^4}$$
Tìm Min P=xyzt

 

[hien_vuthithanh]

1. Cho x,y,z thuộc [0;1]
Tìm Max $P= \sqrt{xyz}+ \sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}$

$$P= \sqrt{xyz}+ \sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)} \le \dfrac{x+yz}{2}+\dfrac{1-x+(1-y)(1-z)}{2}=1+\dfrac{2yz-y-z}{2}=1+\dfrac{y(z-1)+z(y-1)}{2}$$

Lại có : $$0\le y,z \le 1 \Longrightarrow y(z-1)+z(y-1) \le 0$$

$$\Longrightarrow P \le 1$$

 

[hien_vuthithanh]

Cho x,y,z,t >0 thỏa mãn:
$\dfrac{1}{1+x^4}+\dfrac{1}{1+y^4}+\dfrac{1}{1+z^4}+\dfrac{1}{1+t^4}$ $=1$
Tìm Min P=xyzt

Cái này thiếu chỗ màu đỏ nhỉ

Có : $$\dfrac{1}{1+y^4}+\dfrac{1}{1+z^4}+\dfrac{1}{1+t^4}=1-\dfrac{1}{1+x^4}=\dfrac{x^4}{1+x^4}\ge 3\dfrac{1}{\sqrt[3]{(y^4+1)(z^4+1)(t^4+1)}}$$

TT có : $$\dfrac{y^4}{1+y^4}=\dfrac{1}{1+x^4}+\dfrac{1}{1+z^4}+\dfrac{1}{1+t^4}\ge 3\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x^4+1)(z^4+1)(t^4+1)}}$$
$$\dfrac{z^4}{1+z^4}=\dfrac{1}{1+x^4}+\dfrac{1}{1+y^4}+\dfrac{1}{1+t^4}\ge 3\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x^4+1)(y^4+1)(t^4+1)}}$$
$$\dfrac{t^4}{1+t^4}=\dfrac{1}{1+x^4}+\dfrac{1}{1+y^4}+\dfrac{1}{1+z^4}\ge 3\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x^4+1)(y^4+1)(z^4+1)}}$$

Nhân theo vế được : $x^4y^4z^4t^4 \ge 81 \iff xyzt \ge 3$

Dấu = tại $x=y=z=t=\sqrt[4]{3}$