~O) Giải:
a) $ y = f(x) = cosx.$
$y' = -sinx = cos(x + \frac{\pi}{2}).$
$y'' = -cosx = cos(x + \pi).$
...
Dự đoán: $y^{(n)} = cos(x + n\frac{\pi}{2}).$
CM dự đoán trên là đúng bằng pp quy nạp toán học đã học.
b) $ y = f(x) = sin5x.$
$y' = 5cos5x = 5sin(5x + \frac{\pi}{2}).$
$y'' = -25sin5x = 25sin(5x + \pi).$
...
Dự đoán: $y^{(n)} = 5^nsin(5x + n\frac{\pi}{2}).$
c) $y = f(x) = \frac{1}{1-x^2} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} = \frac{A(1+x) + B(1-x)}{(1-x)(1+x)}$
\Rightarrow $A + B + (A - B)x = 1$ \Rightarrow $\left\{\begin{matrix}
A + B = 1\\ A - B = 0
\end{matrix}\right.$
\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
A = \frac{1}{2}\\B = \frac{1}{2}
\end{matrix}\right.$
Khi đó:$ y = \frac{1}{2(1-x)} + \frac{1}{2(1+x)} $
$y^{(n)} = (-1)^n.n!.\frac{1}{2}.[\frac{1}{(1-x)^{n+1}} + \frac{1}{(1+x)^{n+1}}].$
CM dự đoán trên bằng pp quy nạp.
d) $ y = f(x) = \frac{x-10}{x^2 - 5x + 4} $= $\frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-1} $
= $\frac{A(x-1) + B(x-4)}{(x-1)(x-4)}$
\Rightarrow$ (A + B)x - A - 4B = x - 10 $\Rightarrow $\left\{\begin{matrix}
A + B = 1\\ -A - 4B = -10
\end{matrix}\right.$
\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
A = -2\\B = 3
\end{matrix}\right.$
Khi đó: $y = \frac{-2}{x-4} + \frac{3}{x-1} $
$y^{(n)} = -2.[\frac{(-1)^n.n!}{(x-4)^{n+1}}] + 3.[\frac{(-1)^n.n!}{(x-1)^{n+1}}].$
CM dự đoán trên bằng pp quy nạp.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn